上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）(含答案)

这是一份上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考
数学试卷（9月份）（含答案与详细解析）
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（　　）
A．2，3，4，6 B．2，3，4，5 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
2．（4分）如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（　　）

A．边AB的长度也变为原来的2倍
B．∠BAC的度数也变为原来的2倍
C．△ABC的周长变为原来的2倍
D．△ABC的面积变为原来的4倍
3．（4分）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是（　　）
A．＝，＝ B．＝，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
4．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为5cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是下列各组中的（　　）
A．2cm，3cm B．4cm，6cm C．6cm，7cm D．7cm，9cm
6．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）
①AD2＝BD•CD
②AB•CD＝AC•AD
③AC2＝BC•CD
④AB2＝AC•BD

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是　 　厘米．
8．（4分）在△ABC中，点D、E分别在BA、CA的延长线上，如果DE∥BC，AB：BD＝2：3，那么AC：CE＝　 　．
9．（4分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走　 　 米报幕（，结果精确到0.1米）．

10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，AD＝1，AE＝2，AC＝3，那么AB＝　 　．
11．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果，那么＝　 　．

12．（4分）如图，在△ABC中AB＝3，AC＝4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，若BB'＝2，那么CC'＝　 　．

13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△ABD＝　 　．

14．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）

15．（4分）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为　 　．

16．（4分）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝　 　米．

17．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，把△ABC绕点C旋转，使点B落在射线BA上的点E处（点E不与点A，B重合），此时点A落在点F，联结FA，若△AEF是直角三角形，且AF＝4，则BC＝　 　．
18．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且DE∥BC时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 　 　．

三.解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．
（1）若AB＝1，求AC的长；
（2）若AC比BC大2，求AB的长．
20．（10分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长．

21．（10分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．
（1）如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；
（2）如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．


22．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠ADE＝∠C，DE交边AC于点E．
（1）求证：＝；
（2）若＝，求证：∠ABD＝∠ADB．

23．（12分）如图，已知平行四边形ABCD，点E为线段AD上一点，联结CE并延长交BA的延长线于点F，联结BE、DF．
（1）若△AEF面积为2，△AEB面积为3，求△FDC的面积；
（2）当∠ABE＝∠DFE时，求证：EF2＝AF•DC．

24．（12分）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点逆时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”；如图，平面直角坐标系xOy中有一点A（2，6），把线段OA绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，若“旋似角”为90°，
（1）当“旋似比”为3时，点B恰落在一个反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）过B作BF⊥x轴，点F为垂足，联结AB，若△AOB与△BOF相似，求此时的“旋似比”；
（3）当“旋似比”为时，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，点D是y轴上一点，且满足∠BDO＝∠OAE，求点D的坐标．

25．（14分）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．
（1）如图，当点E在边BA上时，
①求证：DF•CE＝AB•AD；
②若BE＝2，求线段CF的长．
（2）若△DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．


上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考
数学试卷（9月份）参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（　　）
A．2，3，4，6 B．2，3，4，5 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵2：3＝4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确；
B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误；
C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误；
D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．
2．（4分）如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（　　）

A．边AB的长度也变为原来的2倍
B．∠BAC的度数也变为原来的2倍
C．△ABC的周长变为原来的2倍
D．△ABC的面积变为原来的4倍
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【解答】解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，
∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；
∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；
∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
3．（4分）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是（　　）
A．＝，＝ B．＝，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
【分析】根据各个选项的条件只要能推出＝或＝，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定推出即可．
【解答】
解：A、根据＝和＝不能推出DE∥BC，故本选项错误；
B、根据＝和＝不能推出DE∥BC，故本选项错误；
C、∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确；
D、根据＝和＝不能推出DE∥BC，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，关键是推出△ABC∽△ADE．
4．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∵CE≠AC，
∴．故本答案错误；
B、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
C、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴．
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
D、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，故本答案正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关键．
5．（4分）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为5cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是下列各组中的（　　）
A．2cm，3cm B．4cm，6cm C．6cm，7cm D．7cm，9cm
【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中为5cm边长的对应边可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三种情况．
【解答】解：设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为5cm边长的对应边为6cm，
则：＝＝，
解得：x＝，y＝；
若△DEF中为5cm边长的对应边为7.5cm，
则：＝＝，
解得：x＝4，y＝6；
若△DEF中为5cm边长的对应边为9cm，
则：＝＝，
解得：x＝，y＝；
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意△DEF中为5cm边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．
6．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）
①AD2＝BD•CD
②AB•CD＝AC•AD
③AC2＝BC•CD
④AB2＝AC•BD

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC＝∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC＝∠BAC＝90°，可得出③符合题意；根据AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．
【解答】解：①∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵AD2＝BD•CD，
∴，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC＝∠ABD，
∴∠ABD+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故①符合题意；
②∵AB•CD＝AC•AD，
∴，
∴不能证明△ABC与△ADC相似；
故②不符合题意；
③∵AC2＝BC•CD，
∴，
∵∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠ADC＝∠BAC＝90°，
故③符合题意；
④由AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，
故④不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二.填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是　4　厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
8．（4分）在△ABC中，点D、E分别在BA、CA的延长线上，如果DE∥BC，AB：BD＝2：3，那么AC：CE＝　2：3　．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
∵DE∥BC，AB：BD＝2：3，
∴AC：CE＝2：3，
故答案为2：3．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，比较简单．
9．（4分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走　3.8　 米报幕（，结果精确到0.1米）．

【分析】根据黄金分割的比值为列式计算即可得解．
【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴AP＝10﹣10×
＝10﹣10×
＝10﹣6.18
＝3.82
≈3.8米．
故答案为：3.8．
【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，AD＝1，AE＝2，AC＝3，那么AB＝　6　．
【分析】由∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的值．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝1，AE＝2，AC＝3，
∴，
∴AB＝6．
故答案为：6．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
11．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果，那么＝　　．

【分析】由DE∥AB可得，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
又∵，
∴＝，
又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，
∴AE＝DE，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
12．（4分）如图，在△ABC中AB＝3，AC＝4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，若BB'＝2，那么CC'＝　　．

【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可证△ABB'∽△ACC'，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵△ABC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴＝1，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴，
∴，
∴CC'＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△ABD＝　1：3　．

【分析】根据三角形面积公式得出＝，证△AOD∽△COB，求出＝，求出DO：BD＝1：3，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ACD的边AD上的高和△ABC边BC上的高相等，
∵S△ACD：S△ABC＝1：2，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝＝，
∴＝，
∵△AOD的边DO上的高和△ABD边BD上的高相等，
∴S△AOD：S△ABD＝1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了三角形面积和相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
14．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）

【分析】把△ABC的各边放大2倍得到△DEF．
【解答】解：如图，△DEF为所作．

【点评】本题考查了作图﹣相似变换：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
15．（4分）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为　　．

【分析】由DE∥BC可得＝，求出AE的长，由GF∥BN可得＝，将AE的长代入可求得BN．
【解答】解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE＝GF＝EF＝1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴＝①，＝②，
由①可得，＝，解得：AE＝，
将AE＝代入②，得：＝，
解得：BN＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．
16．（4分）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝　1.2　米．

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，再进行比例变换即可得出答案．
【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，

∴HO∥BN，
∴△AOH∽△ABN，
∴，
即①，
同理可得：△BOH∽△BAM，
∴，
即②，
①+②，得，
∴OH＝1.2（米），
故答案为：1.2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．
17．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，把△ABC绕点C旋转，使点B落在射线BA上的点E处（点E不与点A，B重合），此时点A落在点F，联结FA，若△AEF是直角三角形，且AF＝4，则BC＝　或2　．
【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可求AE的长，通过证明△AHC∽△CHB，可求CH的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，当点E在线段AB上时，过点C作CH⊥AB于H，

由旋转可知：BC＝CE，AB＝EF＝5，
∵∠EAF＝90°，
∴AE＝＝＝3，
∴BE＝2，
∵BC＝CE，CH⊥AB，
∴EH＝BH＝1，
∴AH＝4，
∵∠B+∠BAC＝90°＝∠B+∠BCH，
∴∠BCH＝∠BAC，
又∵∠AHC＝∠BHC＝90°，
∴△AHC∽△CHB，
∴，
∴CH2＝AH•BH＝4×1＝4，
∴CH＝2，
∴BC＝＝＝；
当点E在线段BA的延长线上时，过点C作CH⊥AB于H，

同理可求，BC＝2，
综上所述：BC＝或2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
18．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且DE∥BC时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 　≤k＜1　．

【分析】过A点AH⊥BC交DE于点G，设M点是△ADE的重心，由已知求出AG＝6，AH＝9，当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，设△ADE的重心为Q，则GQ＝6，求出AK＝18，则＝＝＝，又由△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，可得≤k＜1．
【解答】解：过A点AH⊥BC交DE于点G，设M点是△ADE的重心，
∴＝，
∵AD＝2DB，
∴＝，
∴△ABC的重心在DE上，
∴AG＝2GH，
∵△ADE和△ABC重心间的距离为2，
∴MG＝2，
∴AM＝4，
∴AG＝6，AH＝9，
当点D，E分别在AB，AC延长线上时，
当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，
设△ADE的重心为Q，则GQ＝6，
∵GH＝3，
∴HQ＝3，
∴AQ＝12，QK＝6，
∴AK＝18，
∴＝＝＝，
∵△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，
∴≤k＜1，
故答案为：≤k＜1．


【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心的性质，平行线的性质是解题的关键．
三.解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．
（1）若AB＝1，求AC的长；
（2）若AC比BC大2，求AB的长．
【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC＝AB，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可设AC＝x，则BC＝x﹣2，从而可得AB＝2x﹣2，然后根据AC2＝AB•BC，可得x2＝（2x﹣2）（x﹣2），从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC，
∴点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝AB＝，
∴AC的长为；
（2）∵AC比BC大2，
∴设AC＝x，则BC＝x﹣2，
∴AB＝AC+BC＝2x﹣2，
∵AC2＝AB•BC，
∴x2＝（2x﹣2）（x﹣2），
解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），
∴AB＝2x﹣2＝2+4，
∴AB的长为2+4．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
20．（10分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长．

【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG＝EG﹣EF．
【解答】解：∵△ABC中，EG∥BC，
∴，
∵BC＝10，AE＝3，AB＝5，
∴，
∴EG＝6，
∵△BAD中，EF∥AD，
∴，
∵AD＝6，AE＝3，AB＝5，
∴，
∴EF＝．
∴FG＝EG﹣EF＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
21．（10分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．
（1）如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；
（2）如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．


【分析】（1）根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可；
（2）根据题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，然后证明A字模型相似三角形△ABH∽△GCH，从而可得 ，再证明A字模型相似三角形△ABF∽△EDF，从而可得 ，进而可得，最后求出BC的长，从而求出AB的长．
【解答】解：（1）∵PO∥AB，
∴△CPO∽△CAB，
∴，
∵小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，
∴PO＝1.6，CO＝2，BO＝3，
∴，
解得AB＝4，
∴灯杆AB的高度是4m．
（2）由题意得：
GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，
∵∠AHB＝∠GHC，
∴△ABH∽△GCH，
∴，
∴，
∵∠F＝∠F，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴，
∴，
∴BC＝0.9米，
∴，
∴AB＝3.8米，
∴灯杆AB的高度为3.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出△ADC∽△AEB进而得出比例式是解题关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠ADE＝∠C，DE交边AC于点E．
（1）求证：＝；
（2）若＝，求证：∠ABD＝∠ADB．

【分析】（1）由∠ADE＝∠C，∠EAD＝∠DAC根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△EAD∽△DAC，得＝；
（2）先推导出＝，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△DEC∽△ABC，得∠CED＝∠ABD，再证明∠CED＝∠DAC+∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADB，于是∠ABD＝∠ADB．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠EAD＝∠DAC，
∴△EAD∽△DAC，
∴＝．
（2）证明：∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴∠CED＝∠ABD，
∵∠CED＝∠DAC+∠ADE＝∠DAC+∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠CED＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不个邻的两个内角的和等知识，证明△EAD∽△DAC及△DEC∽△ABC是解题的关键．
23．（12分）如图，已知平行四边形ABCD，点E为线段AD上一点，联结CE并延长交BA的延长线于点F，联结BE、DF．
（1）若△AEF面积为2，△AEB面积为3，求△FDC的面积；
（2）当∠ABE＝∠DFE时，求证：EF2＝AF•DC．

【分析】（1）设点E到AF的距离是h，通过推导＝说明“如果两个三角形的高相等，那么这个三角形面积的比等于底的比”，由CD∥AF，AE∥BC推导出＝＝＝，则＝＝，＝＝，由此分别求出S△DEF、S△DEC的值，再由S△FDC＝S△DEF+S△DEC求出△FDC的面积即可；
（2）先证明△BFE∽△FCD，得＝，再由AE∥BC得＝，变形为＝，则＝，所以EF2＝AF•DC．
【解答】（1）解：设点E到AF的距离是h，
∵＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，△AEF面积为2，△AEB面积为3，
∴CD∥AF，AE∥BC，S△AEF+S△AEB＝2+3＝5，
∴＝＝＝，
∴＝＝，＝＝，
∴S△DEF＝S△AEF＝×2＝3，
∴S△DEC＝S△DEF＝×3＝，
∴S△FDC＝S△DEF+S△DEC＝3+＝，
∴△FDC的面积是．
（2）证明：∵∠ABE＝∠DFE，∠BFE＝∠FCD，
∴△BFE∽△FCD，
∴＝，
∵AE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴EF2＝AF•DC．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，正确地理解和运用“高相等的两个三角形面积的比等于底的比”及相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点逆时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”；如图，平面直角坐标系xOy中有一点A（2，6），把线段OA绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，若“旋似角”为90°，
（1）当“旋似比”为3时，点B恰落在一个反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）过B作BF⊥x轴，点F为垂足，联结AB，若△AOB与△BOF相似，求此时的“旋似比”；
（3）当“旋似比”为时，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，点D是y轴上一点，且满足∠BDO＝∠OAE，求点D的坐标．

【分析】（1）设线段OA绕O点逆时针旋转90°后对应点为A'，过点A作AE⊥x轴交于点E，过点A'作A'D⊥x轴交于点D，先证明△AOE≌△OA'E（AAS），可求A'（﹣6，2），再由“旋似比”为3，求出B（﹣18，6），即可求y＝﹣；
（2）由（1）知，∠OAE＝∠BOF，当△AOB∽△OFB时，∠BAO＝∠BOF，设“旋似比”为k，则＝k，求出AO＝2，由tan∠OAE＝，求出BO＝，再由3BF＝OF，分别求出BF＝，OF＝2，即可求k＝；
（3）过点B作BG⊥y轴交于点G，由（1）可得B（3，1），由题意可得tan∠BDO＝＝，求出DG＝9，则D（0，10）或（0，﹣8）．
【解答】解：（1）设线段OA绕O点逆时针旋转90°后对应点为A'，
过点A作AE⊥x轴交于点E，过点A'作A'D⊥x轴交于点D，
∵∠AOA'＝90°，
∴∠AOE+∠A'OD＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A'OD＝∠OAE，
∵AO＝A'O，
∴△AOE≌△OA'E（AAS），
∴AE＝OD，OE＝A'D，
∵A（2，6），
∴OE＝A'D＝2，AE＝OD＝6，
∴A'（﹣6，2），
∵“旋似比”为3，
∴B（﹣18，6），
∵B点在反比例函数上，
∴y＝﹣；
（2）由（1）知，∠OAE＝∠BOF，
当△AOB∽△OFB时，∠BAO＝∠BOF，
设“旋似比”为k，则＝k，
∵△AOE∽△OBF，
∴＝＝＝，
∵A（2，6），
∴OA＝2，AE＝6，
∴AO＝2，
∴tan∠OAE＝，
∴＝，
∴BO＝，
∵3BF＝OF，
∴BF＝，OF＝2，
∴＝＝3＝，
∴k＝；
当△AOB∽△OBF时，∠BOF＝∠ABO，
则AB∥BO，此时不成立；
综上所述：“旋似比”为；
（3）过点B作BG⊥y轴交于点G，
∵“旋似比”是，
由（1）可得B（3，1），
∴BG＝3，
∵∠BDO＝∠OAE，
∴tan∠BDO＝＝，
∴DG＝9，
∴D（0，10）或（0，﹣8）．



【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，图象旋转的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，弄清定义是解题的关键．
25．（14分）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．
（1）如图，当点E在边BA上时，
①求证：DF•CE＝AB•AD；
②若BE＝2，求线段CF的长．
（2）若△DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．

【分析】（1）①通过证明△DEF∽△CED，可得，可得结论；
②由等腰三角形的性质和勾股定理可求CE的长，由相似三角形的性质可求解；
（2）分两种情况讨论，方法同②．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DA＝DE，
∴∠DAB＝∠DEA，
∵∠EFD＝∠DAB，
∴∠DFE＝∠DAB＝∠DEA＝∠EDC，
又∵∠CED＝∠DEF，
∴△DEF∽△CED，
∴，
∴DF•CE＝AB•AD；
②解：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，

∵BE＝2，AB＝6，
∴AE＝4，
∵AD＝DE，DH⊥AB，
∴AH＝EH＝2，
∴DH＝＝＝，
∵AB∥CD，DH⊥AB，EN⊥CD，
∴∠DHE＝∠END＝∠HDC＝90°，
∴四边形DHEN是矩形，
∴EH＝DN＝2，EN＝HD＝，
∴CN＝4，
∴CE＝＝＝，
∵△DEF∽△CED，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∴CF＝CE﹣EF＝；
（2）解：当CF＝CD时，CF＝CD＝6，
当CF＝FD时，如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，

∵CF＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠EFD＝2∠FCD，
∵∠EFD＝∠DAB＝∠BCD，
∴∠BCD＝2∠FCD，
∴∠BCE＝∠FCD，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCD＝∠BCE，
∴BC＝BE＝3，
∵AB＝6，
∴AE＝3，
∵AD＝DE，DH⊥AB，
∴AH＝EH＝，
∴DH＝＝＝，
∵AB∥CD，DH⊥AB，EN⊥CD，
∴∠DHE＝∠END＝∠HDC＝90°，
∴四边形DHEN是矩形，
∴EH＝DN＝，EN＝HD＝，
∴CN＝，
∴CE＝＝＝3，
综上所述：CE的值为6或3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．