九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明图片ppt课件

这是一份九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明图片ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了情景导入，实践探究，应用举例，∵AB＝AE，随堂练习，解得t＝2s，解得t＝08s等内容，欢迎下载使用。
我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？
(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．
你能证明它们一定成立吗？
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．
探究1：判定定理1的证明
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∵ DE∥BC, DF∥AC,∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，∴ △ADE ∽ △ABC.
∵∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，∴△ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴△ABC ∽△A'B'C'.
问题1：证明过程中共作了几条辅助线，各辅助线是如何添加的？作辅助线的目的是什么？
截取线段找点D→作两条平行线→线段成比例
问题2：证得四边形DFCE是平行四边形目的是什么？
平行四边形→线段相等→三边成比例
问题3：根据什么证得△ADE∽△ABC?
判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
探究2：判定定理2，3的证明
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴ A′E = AC . 又∠A′=∠A.∴ △A′DE ≌△ABC， ∴ △A′B′C′ ∽△ABC.
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE∽△ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC.
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？
定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些．
如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.
证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.
已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.
方法指导：由已知条件∠ABD＝∠CBE,∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，
在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，
∴△DBE∽△ABC.
已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点， ∠CBD的平分线交AC于E点，且AE=AB.求证AE2＝AD·AC.
证明：∵BE为∠DBC平分线，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，
∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，
∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
即AE2＝AD·AC.
∴△ABD∽△ACB.
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 (　 　)A．只有1个 B．可以有2个C.有2个以上但有限 D．有无数个
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠ABD＝∠BAC＝40°.∵∠ABC＝80°，∴∠DBC＝40°.∴∠DBC＝∠BAC.∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明.
答：相似．证明： ∵△ABC为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.即△EDF为等边三角形.∴△DEF∽△ABC.
5．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA.
证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.∴AB2＝BD·BC.
而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.
6.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果P,Q两动点同时运动，那么何时△PBQ与△ABC相似？
解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，①△PBQ∽△ABC，
②当△PBQ∽△CBA，
答：0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似．