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2023“西南汇”高三上学期开学考试数学（文）试题含解析
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这是一份2023“西南汇”高三上学期开学考试数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市“西南汇”联考高三（上）开学数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合M＝{1，3}，∁UM＝{2，4，5}，则（ ）
A．1∉U B．2∈U C．3∉U D．4∉U
2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（5分）函数f（x）＝x3+|x|的零点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（5分）已知cosα＝，且α为第四象限角，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则（ ）
A．AF⊥ED1 B．EF⊥CA1 C．A1F⊥BF D．A1F⊥ED1
6．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的图象可由y＝2cos2x的图象向左平移个单位得到
7．（5分）已知均为单位向量，且满足，命题p：，命题q：，则下列命题恒为真命题的是（ ）
A．￢p∨q B．p∨q C．p∧q D．￢p∧￢q
8．（5分）的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
9．（5分）已知一个定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x﹣1+lnx，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
10．（5分）已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号．为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二．问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计：有972人回答“否”，其余人回答“是”．则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（ ）
A．8 B．20 C．148 D．247
11．（5分）单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设a＝°，则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜a
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数则＝ ．
14．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣1）+2的一条过原点的切线方程为 ．
15．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，B（3，0），若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝ ．
16．（5分）△ABC的外心为O，三个内角A，B，C所对的边分别为，b＝4．则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（共7小题，满分80分）
17．（12分）记数列{an}前n项和为Sn，2Sn+n2＝2nan+n．
（1）证明：{an}为等差数列；
（2）若a1＝1，记Tn为数列{an}的前n项积，证明：＜2．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3sinAsinC＝2sin2B，2sin2A+2sin2C＝5sinAsinC．
（1）求B；
（2）若，求a，A．
19．（12分）在三棱锥C﹣ABD中，平面BAD⊥平面BCD，∠BAD＝∠BDC＝90°，E是BC的中点．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）若CD＝，求点E到平面ACD的距离．
20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣x+为常数）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
21．（12分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0），右焦点F（c，0），短轴长为2，直线x＝与x轴的交点到右焦点的距离为．
（1）求C的方程；
（2）点P（1，0），A，B均在C上，且满足PA⊥PB，PA＝PB，若AB与x轴交点为Q，求满足条件的点Q的坐标．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（θ为参数），正方形ABCD的顶点均在C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A（3，0）．
（1）求C的普通方程及点B，C，D的坐标；
（2）设P为C上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值．
23．（10分）已知a，b，c为正实数，a2+b2+c＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
2022-2023学年四川省成都市“西南汇”联考高三（上）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合M＝{1，3}，∁UM＝{2，4，5}，则（ ）
A．1∉U B．2∈U C．3∉U D．4∉U
【分析】利用补集定义直接求解．
【解答】解：集合M＝{1，3}，∁UM＝{2，4，5}，
由题意，得U＝{1，2，3，4，5}．
∴1∈U，2∈U，3∈U，4∈U．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
∵，即2z＝，
∴2（a+bi）＝a﹣1﹣bi，即，解得a＝﹣1，b＝0，
∴z＝﹣1，
∴|z|＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）＝x3+|x|的零点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】f（x）＝x3+|x|＝，分类讨论，即可得出答案．
【解答】解：∵f（x）＝x3+|x|，
∴当x＞0时，f（x）＝x3+x＝0，解得x＝0（不合题意，舍去）；
当x≤0时，f（x）＝x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
综上所述，函数f（x）有2个零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
4．（5分）已知cosα＝，且α为第四象限角，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：∵α为第四象限，
∴sinα＜0，
又∵cosα＝，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则（ ）
A．AF⊥ED1 B．EF⊥CA1 C．A1F⊥BF D．A1F⊥ED1
【分析】建立空间直角坐标系，然后计算相应的数量积即可确定垂直关系．
【解答】解：建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为2．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2），
E（2，1，0），F（1，2，2），
，，，
，
，
，
据此可得只有A1F⊥ED1成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用等知识，属于基础题．
6．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的图象可由y＝2cos2x的图象向左平移个单位得到
【分析】利用辅助角公式可得f（x）＝﹣2sin（2x﹣），然后对照选项一一判断即可．
【解答】解：因为，
即，故A选项错误；
令，
∵此时对应的k不为整数，
∴直线不为其对称轴，故B选项错误；
当x∈（0，），2x﹣∈（﹣，），函数f（x）＝﹣2sin（2x﹣）在此区间上不单调，故C选项错误；
将y＝2cos2x的图象向左移个单位得：
＝＝f（x）．故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期、单调性、对称性及图象的平移，属于中档题．
7．（5分）已知均为单位向量，且满足，命题p：，命题q：，则下列命题恒为真命题的是（ ）
A．￢p∨q B．p∨q C．p∧q D．￢p∧￢q
【分析】先得到的夹角和的夹角相等，再画出图形，判断即可．
【解答】解：∵均为单位向量，且满足，
∵||•||cos＜，＞＝||•||cos＜，＞，
即的夹角和的夹角相等，
如下图，
，
则命题p，q中必有一个为真命题，
故恒为真命题的是p∨q．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，复合命题真假的判断，属于中档题．
8．（5分）的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得原式＝，进而利用基本不等式即可求解．
【解答】解：原式＝，当且仅当＝cos2α时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用以及基本不等式的应用，属于基础题．
9．（5分）已知一个定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x﹣1+lnx，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】利用导数求得函数f（x）的单调性，利用f（x）为奇函数，求得xf（x）为偶函数，利用偶函数的性质求解不等式．
【解答】解：由题意，得，则f（x）单调递增，
又f（1）＝0，∴当f（x）＜0时，x∈（0，1）；
当f（x）＞0时，x∈（1，+∞），
∴x＞0时，xf（x）＞0的解集为（1，+∞）．
又f（x）为奇函数，∴xf（x）为偶函数，
∴xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
10．（5分）已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号．为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二．问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计：有972人回答“否”，其余人回答“是”．则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（ ）
A．8 B．20 C．148 D．247
【分析】根据题意，1400人分为（人）和（人），840人中将有420人回答“否”，则560人中有972﹣420＝552（人）回答“否”，8人回答“是”，则问是否带手机的回答是的人数约占＝，从而可得，高三年级“带智能手机进入校园”的人数．
【解答】解：根据题意，1400人分为（人）和（人），
840人中将有420人回答“否”，则560人中有972﹣420＝552（人）回答“否”，8人回答“是”，
则问是否带手机的回答是的人数约占＝，
该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为（人）．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型概率计算相关知识，属于基础题．
11．（5分）单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意首先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可．
【解答】解：如图为单位正四面体A﹣BCD．
过点A作面BCD的垂线交面于点E，F为外接球球心，
则E为△BCD的中心，，∴．不妨设AF＝R．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得．
即，
解得．
∴最大正三角形的边长为．
故选：C．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
12．（5分）设a＝°，则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜a
【分析】利用二倍公式化简得：a＝sin25°，b＝tan25°，利用辅助公式化简c＝sin24°，再根据y＝sinx在（0，）上的单调性即可比较大小．
【解答】解：因为，
，
c＝sin（30°﹣6°）＝sin24°，
∵在上，
在上sinx单调递增⇒a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数则＝ ．
【分析】从内往外依次求解即可．
【解答】解：∵函数
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数值的求解，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
14．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣1）+2的一条过原点的切线方程为 y＝x ．
【分析】求出原函数的导函数，设切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入原点坐标，求出满足方程的切点的横坐标，则答案可求．
【解答】解：由f（x）＝ln（x﹣1）+2，得f′（x）＝（x＞1），
设切点为（x0，ln（x0﹣1）+2），则f′（x0）＝，
则过切点的切线方程为，x0＞1，
把O（0，0）代入，可得，
令g（x）＝，则g′（x）＝＜0在（1，+∞）上恒成立，
则g（x）在（1，+∞）上单调递减，而x＝2时，g（2）＝0，
可得方程有一个根x0＝2，
故函数f（x）过原点的一条切线方程为y＝x．
故答案为：y＝x．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，设切点是关键，是中档题．
15．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，B（3，0），若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝ ．
【分析】根据题意可得焦点F的坐标，进而可得|BF|，由|AF|＝2|BF|，可得|AF|＝4，结合抛物线的定义可得点A到抛物线准线的距离为4，进而可得A点的横坐标，再代入抛物线的方程，即可得出答案．
【解答】解：因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以焦点F（1，0），
因为B（3，0），
所以|BF|＝2，
因为|AF|＝2|BF|，
所以|AF|＝4，
所以点A到抛物线准线的距离为4，
因为抛物线的准线方程为x＝﹣1，
所以A点的横坐标x＝3，
把x＝3代入抛物线的方程可得y＝±2，
所以或，
所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的定义，解题中需要理清思路，属于中档题．
16．（5分）△ABC的外心为O，三个内角A，B，C所对的边分别为，b＝4．则△ABC面积的最大值为 12 ．
【分析】由平面向量的数量积结合已知可得，再由余弦定理求得cosB，进一步得到sinB，由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，则△ABC面积的最大值可求．
【解答】解：设BC的中点为M，∵△ABC的外心为O，∴OM⊥BC，则，
∴＝
＝，
又∵，∴，
整理得，
∴cosB＝，则，
又b＝4，∴，得ac≤40，
∴．
故答案为：12．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题（共7小题，满分80分）
17．（12分）记数列{an}前n项和为Sn，2Sn+n2＝2nan+n．
（1）证明：{an}为等差数列；
（2）若a1＝1，记Tn为数列{an}的前n项积，证明：＜2．
【分析】（1）由已知等式再构造一个新的等式，两式相减可得，即可得证；
（2）由（1）知an＝n，则，求和即可得证．
【解答】证明：（1）由题意，得，
则（n≥2），
两式相减，得，
即，
∴{an}是等差数列；
（2）∵a1＝1，d＝1，∴an＝n，
∴，
∴．
【点评】本题考查了等差数列的证明和性质的应用，属于中档题．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3sinAsinC＝2sin2B，2sin2A+2sin2C＝5sinAsinC．
（1）求B；
（2）若，求a，A．
【分析】（1）利用余弦定理可解．
（2）将代入（1）中两式，得ac＝2，2a2+2c2＝5ac，又A＞C，得a＞c，a＝2，c＝1，再利用余弦定理可解．
【解答】解：（1）由题意，得3ac＝2b2，2a2+2c2＝5ac．
则2ac＝，＝，
∴cosB＝＝＝，
∴．
（2）将代入（1）中两式，得ac＝2，2a2+2c2＝5ac．
∴ac＝2，（2a﹣c）（a﹣2c）＝0．
当2a＝c时，解得a＝1，c＝2；
当a＝2c时，解得c＝1，a＝2．
又A＞C，∴a＞c，∴a＝2，c＝1．
∴，
∴．
综上，．
【点评】本题考查正、余弦定理的运用，属于中档题．
19．（12分）在三棱锥C﹣ABD中，平面BAD⊥平面BCD，∠BAD＝∠BDC＝90°，E是BC的中点．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）若CD＝，求点E到平面ACD的距离．
【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后由线面垂直的定义可得异面直线垂直；
（2）由题意结合中点的性质和几何体的结构特征可得点面距离．
【解答】（1）证明：由题意，得面BAD⊥面BCD，面BAD∩面BCD＝BD，CD⊥BD，CD在平面BCD内，
故CD⊥面BAD，CD⊥BA．
又BA⊥AD，AD∩BA＝A，
∴BA⊥面CDA，∴AB⊥AC．
（2）解：根据中点性质，知点E到平面ACD的距离为点C，B到平面ACD的距离的平均值．
∵，∴，
∴点E到ACD的距离为．
【点评】本题主要考查线面距离的计算，异面直线垂直的证明，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣x+为常数）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，进而求得函数的单调区间；
（2）由（1）可知函数f（x）在x＝1时取得最小值，根据a的范围讨论f（x）的零点个数．
【解答】（1）由题意，得，
又f′（1）＝0，
∴在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．
（2）由（1）的结论f（x）在x＝1时取得最小值，
f（1）＝2e﹣2+a，
当a＞2﹣2e时，f（1）＞0，f（x）没有零点，
当a＝2﹣2e时，f（1）＝0，f（x）有1个零点，
当a＜2﹣2e时，f（1）＜0，f（x）有2个零点．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．
21．（12分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0），右焦点F（c，0），短轴长为2，直线x＝与x轴的交点到右焦点的距离为．
（1）求C的方程；
（2）点P（1，0），A，B均在C上，且满足PA⊥PB，PA＝PB，若AB与x轴交点为Q，求满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由题意得b＝1，﹣c＝，又a2＝b2+c2，解得a，b，即可得出答案．
（2）分两种情况：当AB∥x轴时，当AB不平行x轴时，设直线AB的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，进而可得弦长|AB|，点P到直线AB的距离|PM|，由PA⊥PB，PA＝PB，则PM⊥AB且2|PM|＝|AB|，解得t，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，得＝，
所以椭圆C的方程为．
（2）当AB∥x轴时，此时点Q不存在，
当AB不平行x轴时，不妨设AB：x＝my+t，Q（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB和椭圆C的方程，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，
则Δ＝16（m2+4﹣t2）＞0⇒t2＜m2+4，
由韦达定理，得，y1y2＝，
设AB的中点为M，
因为PA⊥PB，PA＝PB，
所以PM⊥AB，且2|PM|＝|AB|，
|PM|＝，
|AB|＝＝，
所以，
结合直线AB和y1+y2，得，
所以，
即，
若m≠0，则，
将代入，
解得，
所以，
经验证满足Δ＞0，此时点Q的坐标为，
若，
即，解得，
经验证满足Δ＞0，此时点Q的坐标为（0，0）或，
综上所述，符合条件的点Q的坐标有（0，0）或或．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（θ为参数），正方形ABCD的顶点均在C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A（3，0）．
（1）求C的普通方程及点B，C，D的坐标；
（2）设P为C上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值．
【分析】（1）直接求出C的普通方程以及B，C，D的坐标即可；
（2）设P（x，y），利用两点间的距离以及二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（θ为参数），
消去参数θ可得曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2＝1；
∵正方形ABCD的顶点均在C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A（3，0）．
∴B（2，1），C（1，0），D（2，﹣1）．
（2）设P（x，y）．
故|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
＝（x﹣3）2+y2+（x﹣2）2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+y2+（x﹣2）2+（y+1）2
＝（4x2﹣16x）+4y2+20
＝4（x﹣2）2+4y2+20﹣16≥﹣16+0+20＝4，
当且仅当x＝2，y＝0时等号成立，
当P（2，0）时取等号，其最小值为4．
【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，考查计算能力和逻辑思维能力，属中档题．
23．（10分）已知a，b，c为正实数，a2+b2+c＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）利用三元柯西不等式进行证明即可；（2）利用均值不等式即可证明．
【解答】证明：（1）由三元柯西不等式，得
原式＝．
当时，取等号．
（2）由均值不等式，得
整理，得．
当时，取等号．
【点评】本题考查了利用柯西不等式和基本不等式证明不等式成立的问题，属于中档题．
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2022-2023学年四川省成都市“西南汇”联考高三（上）开学数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合M＝{1，3}，∁UM＝{2，4，5}，则（ ）
A．1∉U B．2∈U C．3∉U D．4∉U
2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（5分）函数f（x）＝x3+|x|的零点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（5分）已知cosα＝，且α为第四象限角，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则（ ）
A．AF⊥ED1 B．EF⊥CA1 C．A1F⊥BF D．A1F⊥ED1
6．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的图象可由y＝2cos2x的图象向左平移个单位得到
7．（5分）已知均为单位向量，且满足，命题p：，命题q：，则下列命题恒为真命题的是（ ）
A．￢p∨q B．p∨q C．p∧q D．￢p∧￢q
8．（5分）的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
9．（5分）已知一个定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x﹣1+lnx，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
10．（5分）已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号．为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二．问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计：有972人回答“否”，其余人回答“是”．则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（ ）
A．8 B．20 C．148 D．247
11．（5分）单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设a＝°，则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜a
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数则＝ ．
14．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣1）+2的一条过原点的切线方程为 ．
15．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，B（3，0），若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝ ．
16．（5分）△ABC的外心为O，三个内角A，B，C所对的边分别为，b＝4．则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（共7小题，满分80分）
17．（12分）记数列{an}前n项和为Sn，2Sn+n2＝2nan+n．
（1）证明：{an}为等差数列；
（2）若a1＝1，记Tn为数列{an}的前n项积，证明：＜2．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3sinAsinC＝2sin2B，2sin2A+2sin2C＝5sinAsinC．
（1）求B；
（2）若，求a，A．
19．（12分）在三棱锥C﹣ABD中，平面BAD⊥平面BCD，∠BAD＝∠BDC＝90°，E是BC的中点．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）若CD＝，求点E到平面ACD的距离．
20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣x+为常数）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
21．（12分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0），右焦点F（c，0），短轴长为2，直线x＝与x轴的交点到右焦点的距离为．
（1）求C的方程；
（2）点P（1，0），A，B均在C上，且满足PA⊥PB，PA＝PB，若AB与x轴交点为Q，求满足条件的点Q的坐标．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（θ为参数），正方形ABCD的顶点均在C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A（3，0）．
（1）求C的普通方程及点B，C，D的坐标；
（2）设P为C上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值．
23．（10分）已知a，b，c为正实数，a2+b2+c＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
2022-2023学年四川省成都市“西南汇”联考高三（上）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合M＝{1，3}，∁UM＝{2，4，5}，则（ ）
A．1∉U B．2∈U C．3∉U D．4∉U
【分析】利用补集定义直接求解．
【解答】解：集合M＝{1，3}，∁UM＝{2，4，5}，
由题意，得U＝{1，2，3，4，5}．
∴1∈U，2∈U，3∈U，4∈U．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
∵，即2z＝，
∴2（a+bi）＝a﹣1﹣bi，即，解得a＝﹣1，b＝0，
∴z＝﹣1，
∴|z|＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）＝x3+|x|的零点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】f（x）＝x3+|x|＝，分类讨论，即可得出答案．
【解答】解：∵f（x）＝x3+|x|，
∴当x＞0时，f（x）＝x3+x＝0，解得x＝0（不合题意，舍去）；
当x≤0时，f（x）＝x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
综上所述，函数f（x）有2个零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
4．（5分）已知cosα＝，且α为第四象限角，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：∵α为第四象限，
∴sinα＜0，
又∵cosα＝，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则（ ）
A．AF⊥ED1 B．EF⊥CA1 C．A1F⊥BF D．A1F⊥ED1
【分析】建立空间直角坐标系，然后计算相应的数量积即可确定垂直关系．
【解答】解：建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为2．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2），
E（2，1，0），F（1，2，2），
，，，
，
，
，
据此可得只有A1F⊥ED1成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用等知识，属于基础题．
6．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的图象可由y＝2cos2x的图象向左平移个单位得到
【分析】利用辅助角公式可得f（x）＝﹣2sin（2x﹣），然后对照选项一一判断即可．
【解答】解：因为，
即，故A选项错误；
令，
∵此时对应的k不为整数，
∴直线不为其对称轴，故B选项错误；
当x∈（0，），2x﹣∈（﹣，），函数f（x）＝﹣2sin（2x﹣）在此区间上不单调，故C选项错误；
将y＝2cos2x的图象向左移个单位得：
＝＝f（x）．故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期、单调性、对称性及图象的平移，属于中档题．
7．（5分）已知均为单位向量，且满足，命题p：，命题q：，则下列命题恒为真命题的是（ ）
A．￢p∨q B．p∨q C．p∧q D．￢p∧￢q
【分析】先得到的夹角和的夹角相等，再画出图形，判断即可．
【解答】解：∵均为单位向量，且满足，
∵||•||cos＜，＞＝||•||cos＜，＞，
即的夹角和的夹角相等，
如下图，
，
则命题p，q中必有一个为真命题，
故恒为真命题的是p∨q．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，复合命题真假的判断，属于中档题．
8．（5分）的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得原式＝，进而利用基本不等式即可求解．
【解答】解：原式＝，当且仅当＝cos2α时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用以及基本不等式的应用，属于基础题．
9．（5分）已知一个定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x﹣1+lnx，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】利用导数求得函数f（x）的单调性，利用f（x）为奇函数，求得xf（x）为偶函数，利用偶函数的性质求解不等式．
【解答】解：由题意，得，则f（x）单调递增，
又f（1）＝0，∴当f（x）＜0时，x∈（0，1）；
当f（x）＞0时，x∈（1，+∞），
∴x＞0时，xf（x）＞0的解集为（1，+∞）．
又f（x）为奇函数，∴xf（x）为偶函数，
∴xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
10．（5分）已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号．为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二．问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计：有972人回答“否”，其余人回答“是”．则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（ ）
A．8 B．20 C．148 D．247
【分析】根据题意，1400人分为（人）和（人），840人中将有420人回答“否”，则560人中有972﹣420＝552（人）回答“否”，8人回答“是”，则问是否带手机的回答是的人数约占＝，从而可得，高三年级“带智能手机进入校园”的人数．
【解答】解：根据题意，1400人分为（人）和（人），
840人中将有420人回答“否”，则560人中有972﹣420＝552（人）回答“否”，8人回答“是”，
则问是否带手机的回答是的人数约占＝，
该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为（人）．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型概率计算相关知识，属于基础题．
11．（5分）单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意首先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可．
【解答】解：如图为单位正四面体A﹣BCD．
过点A作面BCD的垂线交面于点E，F为外接球球心，
则E为△BCD的中心，，∴．不妨设AF＝R．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得．
即，
解得．
∴最大正三角形的边长为．
故选：C．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
12．（5分）设a＝°，则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜a
【分析】利用二倍公式化简得：a＝sin25°，b＝tan25°，利用辅助公式化简c＝sin24°，再根据y＝sinx在（0，）上的单调性即可比较大小．
【解答】解：因为，
，
c＝sin（30°﹣6°）＝sin24°，
∵在上，
在上sinx单调递增⇒a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数则＝ ．
【分析】从内往外依次求解即可．
【解答】解：∵函数
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数值的求解，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
14．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣1）+2的一条过原点的切线方程为 y＝x ．
【分析】求出原函数的导函数，设切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入原点坐标，求出满足方程的切点的横坐标，则答案可求．
【解答】解：由f（x）＝ln（x﹣1）+2，得f′（x）＝（x＞1），
设切点为（x0，ln（x0﹣1）+2），则f′（x0）＝，
则过切点的切线方程为，x0＞1，
把O（0，0）代入，可得，
令g（x）＝，则g′（x）＝＜0在（1，+∞）上恒成立，
则g（x）在（1，+∞）上单调递减，而x＝2时，g（2）＝0，
可得方程有一个根x0＝2，
故函数f（x）过原点的一条切线方程为y＝x．
故答案为：y＝x．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，设切点是关键，是中档题．
15．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，B（3，0），若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝ ．
【分析】根据题意可得焦点F的坐标，进而可得|BF|，由|AF|＝2|BF|，可得|AF|＝4，结合抛物线的定义可得点A到抛物线准线的距离为4，进而可得A点的横坐标，再代入抛物线的方程，即可得出答案．
【解答】解：因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以焦点F（1，0），
因为B（3，0），
所以|BF|＝2，
因为|AF|＝2|BF|，
所以|AF|＝4，
所以点A到抛物线准线的距离为4，
因为抛物线的准线方程为x＝﹣1，
所以A点的横坐标x＝3，
把x＝3代入抛物线的方程可得y＝±2，
所以或，
所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的定义，解题中需要理清思路，属于中档题．
16．（5分）△ABC的外心为O，三个内角A，B，C所对的边分别为，b＝4．则△ABC面积的最大值为 12 ．
【分析】由平面向量的数量积结合已知可得，再由余弦定理求得cosB，进一步得到sinB，由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，则△ABC面积的最大值可求．
【解答】解：设BC的中点为M，∵△ABC的外心为O，∴OM⊥BC，则，
∴＝
＝，
又∵，∴，
整理得，
∴cosB＝，则，
又b＝4，∴，得ac≤40，
∴．
故答案为：12．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题（共7小题，满分80分）
17．（12分）记数列{an}前n项和为Sn，2Sn+n2＝2nan+n．
（1）证明：{an}为等差数列；
（2）若a1＝1，记Tn为数列{an}的前n项积，证明：＜2．
【分析】（1）由已知等式再构造一个新的等式，两式相减可得，即可得证；
（2）由（1）知an＝n，则，求和即可得证．
【解答】证明：（1）由题意，得，
则（n≥2），
两式相减，得，
即，
∴{an}是等差数列；
（2）∵a1＝1，d＝1，∴an＝n，
∴，
∴．
【点评】本题考查了等差数列的证明和性质的应用，属于中档题．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3sinAsinC＝2sin2B，2sin2A+2sin2C＝5sinAsinC．
（1）求B；
（2）若，求a，A．
【分析】（1）利用余弦定理可解．
（2）将代入（1）中两式，得ac＝2，2a2+2c2＝5ac，又A＞C，得a＞c，a＝2，c＝1，再利用余弦定理可解．
【解答】解：（1）由题意，得3ac＝2b2，2a2+2c2＝5ac．
则2ac＝，＝，
∴cosB＝＝＝，
∴．
（2）将代入（1）中两式，得ac＝2，2a2+2c2＝5ac．
∴ac＝2，（2a﹣c）（a﹣2c）＝0．
当2a＝c时，解得a＝1，c＝2；
当a＝2c时，解得c＝1，a＝2．
又A＞C，∴a＞c，∴a＝2，c＝1．
∴，
∴．
综上，．
【点评】本题考查正、余弦定理的运用，属于中档题．
19．（12分）在三棱锥C﹣ABD中，平面BAD⊥平面BCD，∠BAD＝∠BDC＝90°，E是BC的中点．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）若CD＝，求点E到平面ACD的距离．
【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后由线面垂直的定义可得异面直线垂直；
（2）由题意结合中点的性质和几何体的结构特征可得点面距离．
【解答】（1）证明：由题意，得面BAD⊥面BCD，面BAD∩面BCD＝BD，CD⊥BD，CD在平面BCD内，
故CD⊥面BAD，CD⊥BA．
又BA⊥AD，AD∩BA＝A，
∴BA⊥面CDA，∴AB⊥AC．
（2）解：根据中点性质，知点E到平面ACD的距离为点C，B到平面ACD的距离的平均值．
∵，∴，
∴点E到ACD的距离为．
【点评】本题主要考查线面距离的计算，异面直线垂直的证明，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣x+为常数）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，进而求得函数的单调区间；
（2）由（1）可知函数f（x）在x＝1时取得最小值，根据a的范围讨论f（x）的零点个数．
【解答】（1）由题意，得，
又f′（1）＝0，
∴在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．
（2）由（1）的结论f（x）在x＝1时取得最小值，
f（1）＝2e﹣2+a，
当a＞2﹣2e时，f（1）＞0，f（x）没有零点，
当a＝2﹣2e时，f（1）＝0，f（x）有1个零点，
当a＜2﹣2e时，f（1）＜0，f（x）有2个零点．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．
21．（12分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0），右焦点F（c，0），短轴长为2，直线x＝与x轴的交点到右焦点的距离为．
（1）求C的方程；
（2）点P（1，0），A，B均在C上，且满足PA⊥PB，PA＝PB，若AB与x轴交点为Q，求满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由题意得b＝1，﹣c＝，又a2＝b2+c2，解得a，b，即可得出答案．
（2）分两种情况：当AB∥x轴时，当AB不平行x轴时，设直线AB的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，进而可得弦长|AB|，点P到直线AB的距离|PM|，由PA⊥PB，PA＝PB，则PM⊥AB且2|PM|＝|AB|，解得t，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，得＝，
所以椭圆C的方程为．
（2）当AB∥x轴时，此时点Q不存在，
当AB不平行x轴时，不妨设AB：x＝my+t，Q（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB和椭圆C的方程，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，
则Δ＝16（m2+4﹣t2）＞0⇒t2＜m2+4，
由韦达定理，得，y1y2＝，
设AB的中点为M，
因为PA⊥PB，PA＝PB，
所以PM⊥AB，且2|PM|＝|AB|，
|PM|＝，
|AB|＝＝，
所以，
结合直线AB和y1+y2，得，
所以，
即，
若m≠0，则，
将代入，
解得，
所以，
经验证满足Δ＞0，此时点Q的坐标为，
若，
即，解得，
经验证满足Δ＞0，此时点Q的坐标为（0，0）或，
综上所述，符合条件的点Q的坐标有（0，0）或或．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（θ为参数），正方形ABCD的顶点均在C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A（3，0）．
（1）求C的普通方程及点B，C，D的坐标；
（2）设P为C上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值．
【分析】（1）直接求出C的普通方程以及B，C，D的坐标即可；
（2）设P（x，y），利用两点间的距离以及二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（θ为参数），
消去参数θ可得曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2＝1；
∵正方形ABCD的顶点均在C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A（3，0）．
∴B（2，1），C（1，0），D（2，﹣1）．
（2）设P（x，y）．
故|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
＝（x﹣3）2+y2+（x﹣2）2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+y2+（x﹣2）2+（y+1）2
＝（4x2﹣16x）+4y2+20
＝4（x﹣2）2+4y2+20﹣16≥﹣16+0+20＝4，
当且仅当x＝2，y＝0时等号成立，
当P（2，0）时取等号，其最小值为4．
【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，考查计算能力和逻辑思维能力，属中档题．
23．（10分）已知a，b，c为正实数，a2+b2+c＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）利用三元柯西不等式进行证明即可；（2）利用均值不等式即可证明．
【解答】证明：（1）由三元柯西不等式，得
原式＝．
当时，取等号．
（2）由均值不等式，得
整理，得．
当时，取等号．
【点评】本题考查了利用柯西不等式和基本不等式证明不等式成立的问题，属于中档题．
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