2021-2022学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是(    )

A. 全面调查适用于所有的调查
B. 为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C. 为调查小区户家庭用水情况，抽取该小区户家庭，样本容量为
D. 为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体

2.    如图，在数轴上表示的的取值范围是(    )
   
    

A.  B.  C.  D.

3.    在数轴上，点，，表示的数分别为，，，则从左到右，点，，的排列顺序为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点，分别落在点，处．若，则的度数是(    )
   
    

A.  B.  C.  D.

5.    已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.    中国象棋中的“马”沿“日”形对角线走，俗称马走日．三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，，则马直接走到第一象限时所在点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    在平面直角坐标系中，以，，，为顶点的正方形的边长为若点在轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

9.    已知，下列四个结论中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知四个式子：；；；利用有理数逼近无理数的方法，估计的近似值精确到是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于          ．
     

12. 如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，，船的位置应表示为          ．
     

13. 若一个正数的平方根为和，则的值为          ，代数式的值为          ．
14. 年全国滑冰场地与滑雪场地共有个．到了年，全国滑冰场地与滑雪场地共有个，其中滑冰场地比年滑冰场地的倍多个，滑雪场地比年滑雪场地增加了个．求年全国滑冰场地和滑雪场地各有多少个．设年全国滑冰场地和滑雪场地分别有个，个，依据题意，可列二元一次方程组为          ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，将线段，，沿轴或轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段需先向左平移          个单位长度，再向上平移          个单位长度．
     

16. 为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动人为一组，每人自主设定个人目标单位：次，组内任意人之间均需接力一场，且每场接力人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩人所做仰卧起坐次数之和小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为，，，，，若他们设定的个人目标分别记为，，，，其中，且根据以上信息，得到三个结论：，；六场接力成绩由小到大可以依次表示为：，，，，，；，，，的值分别为，，，其中正确结论的序号是          ．

三、计算题（本大题共2小题，共12分）

17. 计算：
    ；
     
18. 解方程组

四、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的倍，判断与的位置关系，并说明理由．
    
     

20. 本小题分
    小明对不等式与的解法进行比较，如下表：

将表格补充完整；
小明发现：在不等式和不等式的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形依据不同．在第五步中，不等式的变形依据是______，不等式的变形依据是______．
将不等式的解集表示在数轴上．
 

21. 本小题分
    下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
    已知：点在直线上，点在直线外，且．
    求作：直线，使得．
    作法：如图，
    
    在线段的延长线上任取一点；
    以为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作；
    将射线反向延长．
    直线就是所求作的直线．
    根据小红的作图过程，解决以下问题：
    补全图形，并完成证明过程；
    证明：，，
    ．
    ______填推理的依据．
    在的条件下，过点作的垂线，交直线于点，
    求的度数．
22. 本小题分
    解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
23. 本小题分
    北京年冬奥会和冬残奥会上，中国运动员获得奖牌的部分统计信息如下．
    
    冬奥会上，中国代表队共获得枚奖牌，其中金牌、银牌、铜牌的占比如图所示，则金牌共有______枚，金牌对应扇形的圆心角度数是______度；
    冬残奥会上，中国代表队共获得枚奖牌，其中三类奖牌的数量如图所示，则金牌共有______枚；在图中，扇形，分别表示______牌、______牌的占比情况．
24. 本小题分
    如图，平分，且，点在射线上．若，，求和的度数．
     

25. 本小题分
    恩格尔系数是食品支出总额占家庭或个人消费或支出总额的比重，常用于反映一个地区人民生活质量的高低，计算公式为：恩格尔系数．
    对北京市居民家庭一年的恩格尔系数的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
    北京市居民家庭年的恩格尔系数的频数分布直方图数据分成组：，，，，，，：
    
    北京市居民家庭年的恩格尔系数在这一组的是：
    北京市居民家庭年的恩格尔系数的统计图：
    
    根据以上信息，回答下列问题：
    在一年中，北京市居民家庭的恩格尔系数共有______年低于；
    北京市居民家庭年的恩格尔系数在______年最低填写年份；
    下列推断中合理的是______．
    年，北京市居民家庭的食品支出总额约为家庭或个人消费或支出总额的一半；
    年以来，北京市居民家庭的恩格尔系数总体呈下降趋势，反映了北京市居民的生活质量逐渐提高．
26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知点，，，且．
    求三角形的面积的值；
    若三角形的面积，三角形的面积，求点的坐标．
     

27. 本小题分
    学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补充一种科普书．某书店的优惠方案如下：
    
    已知该科普书定价元．
    当购买数量不超过本时，张老师应选择优惠方案______；
    当购买数量超过本时，张老师如何选择优惠方案？
28. 本小题分
    在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为已知点，点．
    
    与两点之间的“直角距离”______；
    点为轴上的一个动点，当的取值范围是______时，的值最小；
    若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域用阴影表示．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意；
C、为调查小区户家庭用水情况，抽取该小区户家庭，样本容量为，故本选项说法错误，
不符合题意；
D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，
这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．

根据全面调查的特点判断与；根据样本容量的定义判断；根据样本具有的特点判断．
本题考查了全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，

在数轴上表示的的取值范围为，
故选：．
根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
点，，表示的数分别为，，，则从左到右，点，，的排列顺序为．
故选：．
依据在数轴上比大小，右边的总比左边的大，用“”连接即可．
本题主要考查了实数的大小比较．明确数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
由折叠得：
，
故选：．
根据平行线的性质可得，从而利用平角定义求出，然后根据折叠的性质
进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
则所在的象限是第四象限．
故选：．
把与的值代入方程计算求出的值，即可确定出所求．
此题考查了二元一次方程的解，以及点的坐标，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：马直接走到第一象限时所在点的坐标是．

故选：．
直接利用已知点得出平面直角坐标系，进而得出马直接走到第一象限时所在点的坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，，且，
，
故B不符合题意；
，，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意；
故选：．
根据绝对值的意义可判断；根据不等式的基本性质可判断．
本题考查了实数与数轴，绝对值，不等式的基本性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

由图象知，符合条件的点的坐标为或．
故选：．
根据正方形的性质作出图形，结合图形直接得到答案．
本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对、的位置进行分类讨论，以防漏解．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
对应的点在数轴上在到之间．
表示对应的点到原点的距离．
．
故选：．
直接利用绝对值的几何意义进行解答即可．
本题考查了绝对值的意义，正确理解“绝对值是在数轴上表示一个数对应的点到原点的距离”是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：；；；，
，
四舍五入得到的近似值精确到是．
故选：．
根据已知可知，利用四舍五入可得出的近似值．
本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
点到的距离等于．
故答案为：．

根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，即可得出答案．
本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：观察题图，知：船的位置应表示为．
故答案为：．
直接利用有序数对的意义得出点坐标即可．
此题主要考查了利用有序数对确定位置，正确理解有序数对的意义是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
当时，．
故答案为：；．
利用平方根的性质可得，再解方程可得的值，然后再代入代数式求值即可．
此题主要考查了平方根的性质和代数式求值，关键是掌握正数有两个平方根，它们互为相反数．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故答案为：．
根据年全国滑冰场地与滑雪场地共有个；到了年，全国滑冰场地与滑雪场地共有个，列方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
 

15.【答案】

【解析】解：如图：设平移后的线段为，
，
点与点平移后的对应点均为点，
线段沿轴向下平移了个单位长度，点平移后的坐标为，
线段沿轴向右平移了个单位长度，点平移后的坐标为，
平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，，，
点需平移到，点需平移到，，，，，
即线段需先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
故答案为：；．
先根据点与点平移后的对应点均为点，得到线段，的平移规律，得出点、平移后的坐标，
即为点、平移后坐标，再利用平移的规律得出线段的平移单位．
此题主要考查了平移变换，正确掌握平移的规律是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，
可知最小，最大，且，，
．
，故正确；
，，，，，，故不正确；
，，，故正确；
故答案为：．
由，且可直接得出，由此可判断，
再结合六场接力赛的成绩可得方程，解之即可．
本题主要考查不等式的性质，根据给出不等关系得出对应的方程是解题关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算立方根和算术平方根，再计算加减；
先根据单项式乘多项式的法则计算，再去绝对值符号，然后计算加减．
本题考查了实数的运算，准确熟练地运用法则进行计算是解题的关键．先算乘方或开方，后算乘除，
再算加减，有括号先算括号里面的，如果没有括号，同级运算要从左到右依次进行．
 

18.【答案】解：
变形为，
代入得，，
解得，．
代入得，．
故原方程组的解为． 

【解析】由于方程组中两方程中未知数的系数较小，故可用代入消元法求解．
此题比较简单，考查的是解二元一次方程组的代入消元法．
 

19.【答案】解：，
理由如下：
是它的补角的倍，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据是它的补角的倍得到，则，，，求出，
得到．
本题考查了平行线的判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定．
 

20.【答案】解：将表格补充完整为：

故答案为：，；
小明发现：在不等式和不等式的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形依据不同．在第五步中，不等式的变形依据是不等式的基本性质，不等式的变形依据是不等式的基本性质．
故答案为：不等式的基本性质，不等式的基本性质；
将不等式的解集表示在数轴上为：
 

【解析】系数化为即可求解；
根据不等式的基本性质求解即可；
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
本题考查的是解一元一次不等式，步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

21.【答案】证明：如图，

，，
．
同位角相等，两直线平行；
故答案为：同位角相等，两直线平行；
解：，
，
，
． 

【解析】先根据几何语言画出对应的几何图形，然后根据同位角相等，两直线平行可判断；
先根据垂直的定义得到，再利用对顶角相等得到，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
 

22.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解有、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：金牌共有：枚，
金牌对应扇形的圆心角度数是：，
故答案为：；；
金牌共有：枚，扇形，分别表示铜牌、金牌的占比情况．
故答案为：；铜；金． 

【解析】用总数乘金牌数所占百分比即可得出金牌数量；用乘金牌数所占百分比即可得出金牌对应扇形的圆心角度数；
用总数分别减去银牌、铜牌的数量即可得出金牌数量；根据扇形，的圆心角大小判断即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】解：，
，
，
，平分，
，，
，
． 

【解析】由同旁内角互补，两直线平行得，则有，再由角平分线的定义得，，则要求的度数，再由三角形的内角和定理可求的度数．
本题主要平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
 

25.【答案】解：在一年中，北京市居民家庭的恩格尔系数低于的频数为年，
故答案为：；
北京市居民家庭年的恩格尔系数的折线统计图中最低点所对应的年份是年，
故答案为：；
从北京市居民家庭年的恩格尔系数的折线统计图中，年北京市居民家庭的食品支出总额约为家庭或个人消费或支出总额的一半以上，约为，因此不正确；
年以来，北京市居民家庭的恩格尔系数总体呈下降趋势，反映了北京市居民的生活质量逐渐提高．
是正确的；
故答案为：． 

【解析】根据频数分布直方图中的数据得出恩格尔系数小于的频数即可；
根据北京市居民家庭年的恩格尔系数的折线统计图找出最低点所对应的年份即可；
根据恩格尔系数结合具体的统计图进行判断即可．
本题考查折线统计图、频数分布直方图，理解恩格尔系数的定义是正确判断的前提．
 

26.【答案】解：，，
；
，，
，，
，，
，
，或，，
点坐标为或． 

【解析】利用三角形面积公式直接计算；
利用三角形面积公式得到，，再解方程求出、的值，然后利用
确定点坐标．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了
坐标与图形性质．
 

27.【答案】解：当购买数量不超过本时，方案一不优惠，方案二按八折优惠，
张老师应选择方案二方案，
故答案为：方案二；
设购买数量为本，总费用为元，
当购买数量超过本时，
则方案一：；
方案二：，
当时，即，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
当时，按方案二购买更优惠；当时，方案一和方案二花费一样多；
当时，按方案一更优惠． 

【解析】根据方案一和方案二直接可以得出结论；
当购买数量超过本时，先写出方案一和方案二实际费用，再比较两种费用的大小即可．
本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据数量关系写出不等关系．
 

28.【答案】解：，，
，
故答案为：；
当时，的值最小；
故答案为：；
如图，阴影部分即为所求不包括坐标轴上的点．
 

【解析】根据“直角距离”的定义求解即可；
当时，的值最小；
首先确定的位置，再在图中画出点的运动区域用阴影表示即可．
本题考查平面直角坐标系中的新定义问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．