2022年河南省郑州外国语中学中考数学最后一卷-（含解析）

2022年河南省郑州外国语中学中考数学最后一卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    我国在数的发展史上有辉煌的成就，早在东汉初，我国著名的数学专著九章算术明确提出了“正负术”如果盈利元记为元，那么元表示(    )

A. 亏损元 B. 盈利元 C. 亏损元 D. 盈利元

2.    年北京和张家口成功举办了第届冬奥会和冬残奥会，下面关于奥运会的剪纸图片中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    华为距今为止已创立年，作为世界顶级科技公司，其设计的麒麟芯片拥有领先的制程和架构设计，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    某校在评选“交通安全在我心”优秀宣传小队的活动中，分别对甲、乙两队的名学生进行了交通安全知识考核，其中甲、乙两队学生的考核成绩如下图所示，下列关系完全正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.    如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京年冬奥会相关图案如图所示，除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案都是甲的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，两条宽度分别为和方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，矩形中，点沿折线从点匀速运动到点，连接，设点运动的路程为，线段的长度为，图是点运动时随变化的关系图象，当时，点与点重合，则点的纵坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 分式有意义的的取值范围是______．
12. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则______

13. 不等式组的最小整数解是______．
14. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点若，，则的长为______．

15. 如图，线段是的直径，弦，垂足为，点是上任意一点，，，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：；
    先化简，再求值：，其中，．
17. 本小题分
    学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了名学生的调查结果满分为分，分数用表示，共分成四组：：，：，：，：进行整理、描述和分析，当分数不低于分说明心理健康，下面给出部分信息．
    八年级随机抽取了名学生的分数是：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    九年级随机抽取了名学生的分数中，、两组数据个数相等．、两组的数据是：
    ，，，，，，，，，

根据以上信息，回答下列问题：
填空：______；______；______．
根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级学生心理健康状况更好？请说明理由写出一条理由即可．
若该校八年级有名学生，九年级有名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？

18. 本小题分
    已知关于的方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    若是方程的一个解，求的值．
19. 本小题分
    为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边处测得河对岸的同学恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：．

哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；
请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度精确到参考数据：

20. 本小题分
    已知：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
    在同一个平面直角坐标系中，请画出函数与函数的图象；并观察图象，直接写出不等式在第一象限成立时的取值范围；
    已知点，过点作垂直于轴的直线，与反比例函数图象交于点，与直线交于点记反比例函数图象在点，之间的部分与线段，围成的区域不含边界为．
    当时，区域内的格点个数为______；格点即横、纵坐标都是整数的点
    若区域内的格点恰好为个，请结合函数图象，直接写出的取值范围．

21. 本小题分
    阅读下列材料，并完成相应的任务．

任务：
填空：
依据指的是中点的定义及______；
依据指的是______．
请将证明过程补充完整．
善于思考的小虎发现当点是的中点时，，请你利用图证明该结论的正确性．
 

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点点是抛物线上的任意一点，且不与点重合，直线经过，两点．
    求抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
    若点，在抛物线上，则 ______用“”，“”或“”填空；
    若对于时，总有，求的取值范围．
23. 本小题分
    在中，，，点，分别是，的中点，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
    【问题发现】如图，当点与点重合时，线段与的数量关系是______，______．
    【探究证明】当点在射线上运动时不与点重合，中结论是否一定成立？请利用图中的情形给出证明．
    连接，当是等边三角形时，请直接写出的的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：盈利元记为元，
元表示亏损元，
故选：．
审清题意，根据“正”和“负”所表示的意义直接求解即可．
本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
，
由折线统计图可得，
故选：．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平移折线，得到折线，
四边形和四边形都为平行四边形，
折线在平移过程中扫过的面积．
故选：．
利用平移的性质可判断四边形和四边形都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
本题考查了坐标与图形平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中两次记录的图案都是甲的结果数为，
所以两次记录的图案都是甲的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果，找出两次记录的图案都是甲的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点．

由作图可知，平分，
，，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图，过点作于点证明，再利用垂线段最短，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形．
如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
．
又，
，，
四边形的面积
故选：．
根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点作于点，过点作于点，利用面积法求得与的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，
当时，点与点重合，，

由勾股定理可得，
由矩形的性质可知，，，
点的横坐标为，则此时点在上，
，即，
过点作于点，

，
∽，
：：：：：：，
，，
，
由勾股定理可得；
故选：．
根据点的运动可知，则，当时，点与点重合，，由此可得出，由矩形的性质可知，，点的横坐标为，则，过点作于点，由∽，可得出和的长，进而可得出和的长，即可得出点的纵坐标．
本题考查了动点问题的函数问题，设计相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题中由图象得出矩形的各边的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的最小整数解为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最小整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
是的中点，
，
四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
∽；
，即，
，
，
．
由勾股定理求出，得出，由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得∽，再由比例式求出，即可得出的长．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

线段是的直径，弦，，，
在中，设为，可得：，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理和勾股定理解答即可．
此题主要考查勾股定理以及垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．
 

16.【答案】解：原式
；

原式
，
当，时，
原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案；
直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了实数的运算、整式的混合运算化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：，
解得，
九年级测试成绩的中位数，
九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比为，
，
故答案为：；；；
八年级学生心理健康状况更好，理由如下：
八年级测试成绩的平均数和中位数均大于九年级；
名．
答：估计这两个年级心理健康的学生一共有名．
根据中位数的定义可得、的值，先求出九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比可得的值；
可从中位数、平均数角度分析求解；
用总人数乘以样本中、等级人数占被调查人数的比例即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，优秀率，掌握众数、中位数以及平均数的定义和优秀率的意义是解题的关键．
 

18.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围是；
由知，，
是方程的一个解，
，
整理得：，
解得：，舍去，
的值为． 

【解析】根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可；
将代入方程得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
本题考查了根的判别式，解一元二次方程，方程的解．解题的关键：熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系；熟练掌握一元二次方程的解法．
 

19.【答案】解：第一个小组的数据无法计算河宽，理由如下：
第一小组给出的数据为的长，和无法建立联系，无法得到的任何一边长度，
第二小组的数据无法计算河宽；
第二个小组的解法：
，，，
，
，
．
第三个小组的解法：设，
则，，
，
解得．
答：河宽约． 

【解析】第一个小组的数据无法计算河宽；
第一个小组：证明，解直角三角形求出即可．第三个小组：设，则，，根据，构建方程求解即可．
本题考查过一点作已知直线的垂线，解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，

当在第一象限成立时的取值范围为；
如图，
 
当时，点，，
所以在区域内有个格点，，
故答案为：；
如图，
 
由图可知，若区域内的格点恰好为个，
当点在点的右方时，则；
当点在点的左方时，则．
综上所述，若区域内恰有个格点，的取值范围为：或．
分别画出图象，根据图象解答即可；
根据题意画出图象，再根据整点的定义解答即可；
分点在点的右侧和左侧两种情况解答．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，解题关键是正确理解题意并能准确画出两个函数的图象．
 

21.【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半  圆内接四边形对角互补 

【解析】解：依据指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
依据指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆内接四边形对角互补；
解：如图，连接，，，，取的中点，连接，
则，
点，，，四点共圆，
，
又，
，
同上可得点，，，四点共圆，
，
，
，
点，，在同一直线上；
证明：如图，连接，，，

点是的中点，
，
，，
又，，
，
≌，
．
利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；
利用直角三角形斜边上中线的性质证明点，，，和点，，，四点分别共圆，再说明，可证明结论；
连接，，，利用证明≌，从而得出结论．
本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为；

由知，抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为，
，，
点和点点到抛物线的对称轴的距离相等，
，
故答案为：；

针对于抛物线，
令，则，
，
点在直线十上，
，
直线的解析式为，
联立整理得，，
，
，
点是抛物线上的任意一点，且不与点重合，
，
，
对于时，总有，
，
，
，
．
将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出答案；
先确定出抛物线的对称轴，再用点，到对称轴的距离的大小，即可得出答案；
先确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，解不等式，求出是解本题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
故答案为：，．

结论成立．
理由：连接．

，，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
∽，
，，
，
，，，
，
；

如图中，当点在线段上时，过点作于点．

是等边三角形，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
．
如图中，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点．

同法可得，，，
设，则，，，
，
，
，
综上所述，的值为或．
利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可；
结论成立．证明∽，推出，，可得结论；
分两种情形：如图中，当点在线段上时，过点作于点设，则，，求出，用表示，即可解决问题．如图中，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同法可求．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．