2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期起点考试数学试题含解析

2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期起点考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，解得即可.

【详解】解：因为，且，

所以，解得，即；

故选：D

2．已知为虚数单位，复数，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．25

【答案】C

【分析】利用复数模的运算性质直接求解.

【详解】因为复数，

所以.

故选：C

3．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，对照四个选项一一判断.

【详解】对于A，由，得或与相交.故A错误；

对于B，若，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线.所以B错误；

对于C，若，由线面垂直的性质定理知，所以C正确；

对于D，若，则与可能相交，也可能平行.所以D错误.

故选：C.

4．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．

【详解】，．

，又，，又，，故选B．

【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．

5．已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（       ）

A．1078 B．1068 C．566 D．556

【答案】A

【分析】设公差为d ，公比为q，由结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果

【详解】设公差为d ，公比为q，

由题，，则，，

联立可解得，，所以，，

∴的前10项和为，

故选：A

6．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺）

A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺

【答案】B

【分析】设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高，由棱台的体积公式可得结果.

【详解】

由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，

设棱台的高为，由可得，

解得，可得正四棱台体积为

，故选B.

【点睛】本题主要考查阅读能力，考查棱锥与棱台的性质以及棱台的体积公式，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.

7．已知是自然对数的底数，若，则有（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件变形为，令，利用导数法求解.

【详解】解：因为，

所以，

令，则，

当时，，当时，，

又因为，

所以，

即，

又因为，且递减，

所以，

故选：A

8．一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题取值为0、1、2，对第一步取出球的情况分类讨论，分别求出对应第二步取出个白球的条件概率，最后用全概率公式即可求出第二步取出个白球的概率，最后求用公式求期望即可

【详解】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则

②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则

③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则

故由全概率公式，，

同理，

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位数为7

B．若，则

C．已知，若，则相互独立

D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05

【答案】BC

【分析】对于A，结合百分位数的定义，即可得到结果；对于B，结合正态分布的对称性求解；对于C，利用对立与条件概率的公式即可；对于D，利用临界值即可做出判断.

【详解】对于A，，从小到大排序后第75百分位数为，故错误；

对于B，对称轴，，故正确；

对于C，由，可得，即，

所以，故相互独立，正确；

对于D，根据，可判断与有关且犯错误的概率超过0.05，故错误.

故选：BC

10．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．f（x）的最大值为2

B．f（x）在上单调递增

C．f（x）在上有4个零点

D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称

【答案】ACD

【分析】先对函数化简变形得，然后利用余弦函数的性质逐个分析判断即可

【详解】因为，所以A正确；

当时， ，函数在上先增后减，无单调性，故B不正确；

令，得，故，因为，所以，故C正确；

把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时． 取得最小值－2，故D正确．

故选：ACD

11．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（       ）

A．椭圆的离心率的取值范围是

B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是

C．存在点使得

D．的最小值为1

【答案】BCD

【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.

【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，

所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；

当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；

设椭圆的上顶点为，，，由于，

所以存在点使得，故C正确；

，

当且仅当时，等号成立，

又，

所以，故D正确．

故选：BCD

12．函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（       ）

A．函数的图象关于直线对称

B．若的导函数为，定义域为，则

C．的图象关于点中心对称

D．设数列为等差数列，若，则

【答案】BCD

【分析】A.由导数的几何意义及是奇函数得到是偶函数判断；B.由的对称性， 为奇函数判断；C.由，结合为奇函数判断；D.由C得到时，，再结合等差数列性质判断.

【详解】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为错；

由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；

，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C对；

由选项知，当时，，

由等差数列性质，以此类推倒序相加，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．在中，是边上的点，且，设，则___________.

【答案】

【分析】结合向量运算法则，，，即可化简求得结果.

【详解】由题，是边上的点，且，

，

∴

故答案为：

14．已知展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为___________.

【答案】

【分析】令，即可求出展开式系数和，从而求出，再写出展开式的通项，即可得解.

【详解】解：令，得，解得，

所以的展开式的通项，

则展开式的第项为．

故答案为：

15．已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设出直线方程，然后表示出圆心到该直线的距离，然后求出距离的范围，然后用距离表示出面积，即可得到答案.

【详解】因为，过点的直线不过圆心，

所以该直线的斜率存在，设其方程为，即，

所以圆心到该直线的距离为，

因为，

所以，

故答案为：

16．在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.

【答案】

【分析】分析可知三棱锥外接球球心为中点，求出点到平面的距离，可得出点到平面的距离的最大值，利用锥体体积可得出关于的等式，求出的值，可得出球的半径的值，再利用球体的体积公式可求得结果.

【详解】正中，为的中点，则，

而平面，平面，则，

而，、平面，则平面，

平面，所以，，

平面，平面，，

所以，的中点到点、、、的距离相等，

即三棱锥外接球球心为中点，

从而，点是三棱锥外接球球心，

设球的半径为，则，，

因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，

因为、分别为、的中点，则，故平面，如图，

则有，即到平面的距离为，

因此到平面距离的最大值为，

又，即有，解得，

所以，，所以球的体积为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

四、解答题

17．已知数列前项和为，且.

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用数列通项和前n项和的关系得到，再利用等差数列的定义求解；

（2）易得，再利用错位相减法求解.

【详解】(1)解：，

，

，

，

数列为等差数列，且，

又时，，

，

；

(2)，

，

，

，

两式相减得，

，

，

，

.

18．如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点、是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足.

(1)求证：；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接、，利用线面角的定义可求得的长，利用勾股定理可证得，结合已知条件证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】(1)证明：由题意，且圆锥的轴截面为等边三角形，则，平面，

，

取的中点，连接、.

因为、分别为、的中点，则，故平面，且，

所以，为直线与平面所成角，即，

由，解得，，

则，，

在中，，所以，

平面，平面，则，

，、平面，平面，

平面，.

(2)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，

则，取，可得，

所以，，则，

因此，二面角的正弦值为.

19．在中，内角满足.

(1)求证：；

(2)求最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)最小值为3

【分析】（1）先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可证结论；

（2）利用，得出，结合基本不等式求得最小值.

【详解】(1)因为，由正弦定理得，从而，

则，

所以，

即有.

(2)由（1），有，

则，

故，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为3.

20．设某种植物幼苗从观察之日起，第天的高度为（cm），测得的一些数据如下表所示：

(1)根据以上数据判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程（给出判断即可，不需说明理由）？

(2)根据（1）的判断，建立关于的经验回归方程，估计第100天幼苗的高度（估计的高度精确到小数点后第二位）；

(3)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.

附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率的最小二乘估计为.

【答案】(1)

(2)，

(3)分布列答案见解析，数学期望为

【分析】（1）根据表中数据可得答案；

（2）根据公式算出答案即可；

（3）这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中，然后可算出答案.

【详解】(1)根据表中数据可得更适宜作为关于的经验回归方程；

(2)令，则，根据已知数据表得到如下表：

故关于的经验回归方程

令；

(3)这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中

所以随机变量的分布列为：

随机变量的期望值.

21．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为，代入点坐标求解.

（2）（i）当直线斜率存在时，设，与双曲线联立，根据且，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.

【详解】(1)解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，

设双曲线的标准方程为

代入点坐标，解得

所以双曲线的标准方程为

(2)（i）当直线斜率存在时，设，

设，联立与双曲线，

化简得，

，即，

则有，

又，

因为，

所以，

所以，

化简，得，即，

所以，

且均满足，

当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，

当时，直线的方程为，过定点

（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，

与双曲线方程联立解得，此时也过点，

综上，直线过定点.

由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.

22．已知函数是自然对数的底数.

(1)当时，设的最小值为，求证：；

(2)求证：当时，.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用零点存在性定理，确定存在使得导函数为0，利用导函数的单调性得到，构造，求导后得到单调性，得到；

（2）方法一：求导后对导函数变形，得到导函数的单调性，结合零点存在性定理得到存在使得，两边取对数后得到，利用隐零点得到，利用放缩法，基本不等式证明出结论；

方法二：对不等式变形，结合放缩法，只需证明，构造函数后求导，得到其最小值故证明出结论；

方法三：注意到与互为反函数，其图像关于对称，只需证当时，，构造，，求导得到其单调性，求出其最小值大于等于0，从而证明出结论，

【详解】(1)当时，

由于，故存在，使得

由基本初等函数性质知，在递增，

所以当时，递减；当时，递增，

所以

设函数在恒成立，

故在递减，，所以.

(2)方法一：

当时，由基本初等函数性质知，在递增，

令，，

则在上恒成立，

所以单调递减，

所以，

即，，

因为，所以，

故，

所以

所以存在使得，即：，

两边取自然对数得：

当时，递减；当时，递增

，

因为，故

方法二：，由于，所以，

故只需证，即，设，

在单调递增，且，故时单调递减；

时单调递增，所以

原不等式成立.

方法三：，注意到与

互为反函数，其图像关于对称，故只需证当时，，

令，,

，当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

即，

因为，所以，

两边同除以得：

因为单调递增，

所以，

所以当时，，证毕.

【点睛】本题第二问可从不同角度来进行证明不等式，第三种方法最为简单，需要能观察到两函数为反函数，故可变形为只需证明当时，成立即可，再构造函数进行证明.