2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学调研试卷（一）（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学调研试卷（一）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个实数中，是无理数的为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图所示的几何体由个大小相同的小正方体紧密摆放而成，下列关于其三视图面积大小的说法中正确的是(    )

A. 主视图和左视图面积相等 B. 主视图和俯视图面积相等
C. 左视图和俯视图面积相等 D. 三个视图面积都相等

5. 在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为的切线，为切点，交于点，点在上，若的度数是，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地(    )

A.
B.
C.
D.

9. 下列命题中，正确的有个．(    )
   平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
   在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
   圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴；
   直线与圆最多有两个公共点．

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，、分别是、边上的点，连接、，它们相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 哈西和谐大道跨线桥总投资元，将用科学记数法表示为______．
12. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
13. 因式分解：______．
14. 计算：______．
15. 不等式组的整数解为______ ．
16. 某品牌手机，按进价提高后打八折销售，每台手机赚元，则该品牌手机每台进价______元．
17. 如图，是的直径，弦于点，若，，则______．

18. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为______．

19. 在中，，，，则的长为______ ．
20. 如图，等边中，在上，在上，，连、交于，在上，且，，，则 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

21. 先化简，再求代数式的值，其中．

四、解答题（本大题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22. 本小题分
    如图，在边长为的小正方形组成的的网格中，给出了以格点网格线的交点为端点的线段．
    将线段向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，点、的对应点分别为、，请画出线段；
    以线段为一边，作一个菱形，点、都为格点，且菱形的面积为作出一个菱形即可，直接写出对角线的长．

23. 本小题分
    南岗区对初四的数学教师试卷讲评课中，学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项评价组随机抽取了若干名初四学生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：
    在这次评价中，一共抽查了多少名学生；
    请将条形统计图补充完整，并求出在扇形统计图中“专注听讲”所占的扇形的圆心角度数；
    如果南岗区有名初四学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人？
     

24. 本小题分
    在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
    
    求证：四边形是菱形．
    连接，若，直接写出长度等于的线段．不包括
25. 本小题分
    中秋节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就用元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的倍，但每千克进价多了元．
    该商家两批共购进这种水果多少千克？
    由于储存不当，第二批购进的水果中有腐坏，不能售卖该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于元，求每千克这种水果的售价至少是多少元？
26. 本小题分
    内接于，在劣弧上，连交于，连，．
    如图，求证：；
    如图，平分，求证：；
    如图，在条件下，点在延长线上，连，于，，，，求半径的长．
     

27. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线交轴于点，交轴于点，，．
    
    求直线的解析式；
    点在上，，点在的延长线上，设点纵坐标为，的面积为，求出与的函数关系式；
    在的条件下，点在轴负半轴上，，于，交于，若，求点坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是有限小数，属于有理数；
B.是分数，属于有理数；
C.是无理数；
D.，是整数，属于有理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、原式，错误；
D、原式，正确，
故选D
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及单项式乘以单项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的三视图如图所示：

则主视图和俯视图面积相等，
故选：．
根据几何体确定出三视图，即可作出判断．
此题考查了简单组合体的三视图，作出几何体的三视图是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：
，，，
，
，
故选：．
首先画出图形，然后再利用勾股定理计算出的长，再利用三角函数定义计算出的值即可．
此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：为的切线，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
令代入，
故选：．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：；
，．
．
故选D．
根据三角函数分别求，的长，从而得到的长．再利用勾股定理求的长即可．
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

9.【答案】 

【解析】解：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法正确；
圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，本小题说法正确；
直线与圆最多有两个公共点，本小题说法正确，
故选：．
根据垂径定理、圆心角定理、轴对称图形和对称轴的概念、直线与圆的位置关系判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，∽，
， ， ，

选项A、、D正确，C错误；
故选C．
由平行四边形的性质得出，，证出∽，∽，得出对应边成比例，，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：  ，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
解得．
故答案为：．
根据分母不能为零，分式有意义，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接化简二次根式，进而合并求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

15.【答案】、 

【解析】解：，
由不等式得：，
由不等式得：，
则不等式组的解集是：，
所以不等式组的整数解为，，
故答案为，．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，进而求得整数解．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设该品牌手机每台的进货价格为元，
根据题意得：，
解得：，
即该品牌手机每台进价元，
故答案为：．
设该品牌手机每台的进货价格为元，根据“按进价提高后打八折销售，每台手机赚元”列出关于的一元一次方程，解之即可．
本题考查一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
弦于点，，
．
在中，，，，
，
．
故答案为．
连接，根据垂径定理得出，然后在中由勾股定理求出的长度，最后由，即可求出的长度．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出、的长度．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，
点在的垂直平分线上，
，直线必过圆心，，
，
，
，
，
．
故答案为：
过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数，进而得出的度数，根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．解题的关键是知道题干的条件可得点在的垂直平分线上．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，
在中，，
设，则，
，，
，
解得：取正值，
，，
在中，，
，
如图，过点作，垂足为，
同理可得，，
故答案为：或．
分两种情况进行解答，即锐角三角形、钝角三角形两种情况，通过作高，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出、即可．
本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌；
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
由“”可判定≌，根据全等三角形的性质得出，可求，由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

21.【答案】解：当时，
原式

． 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：如图，线段即为所求．
如图，菱形即为所求，．
 

【解析】根据平移的性质画出图形即可．
作出对角线分别为，的菱形即可．
本题考查作图平移变换，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：

名，
即在这次评价中，一共抽查了名学生；
讲解题目的学生有：人，
补充完整的条形统计图如右图所示，
在扇形统计图中“专注听讲”所占的扇形的圆心角度数是：；
人，
即在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有人． 

【解析】根据统计图中的数据，可以计算出在这次评价中，一共抽查了多少名学生；
根据中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出讲解题目的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据条形统计图中的数据，即可计算出在扇形统计图中“专注听讲”所占的扇形的圆心角度数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：，
，
又为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，是边上的中点，
，
▱是菱形；
解：长度等于的线段为、、、不包括，理由如下：
由得：四边形是菱形，，
，
． 

【解析】证≌，得，则四边形是平行四边形，由直角三角形的性质得，即可得出结论；
由菱形的性质和直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设该商家第一批购进这种水果千克，则第二批购进这种水果千克，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：该商家两批共购进这种水果千克．
设每千克这种水果的售价是元，
依题意得：，
解得：．
答：每千克这种水果的售价至少是元． 

【解析】设该商家第一批购进这种水果千克，则第二批购进这种水果千克，根据单价总价数量，结合第二批每千克的进价比第一批多了元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设每千克这种水果的售价是元，根据利润销售单价销售数量进货总价，结合全部销售完毕后获利不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：如图中，连接．

，，
，
，
．

证明：如图中，连接，．

，
，，
平分，
，
，
≌，
．

解：如图中，过点作于，于．

，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为． 

【解析】证明，再利用等腰三角形的三线合一的性质，即可解决问题．
如图中，连接，证明≌，可得结论．
如图中，过点作于，于首先证明四边形是矩形，再证明，，解直角三角形求出，，，即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
 

27.【答案】解：在中，，，
，
设，，则，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为；
如图中，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
在上截取，使得，作轴交的延长线于，如图：

轴，
，
，
，
，，
，
，，
≌，
，，
构造正方形，连接，则点在线段时上，作的角平分线交于，过点作于，于，于，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
是的内心，
，
，，，
≌，
，设，
同法可证，
，
，
，
，，，
在中，则有，
解得或舍弃，
，
． 

【解析】解直角三角形求出，，可得，两点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求解即可．
如图中，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，想办法证明，求出点的坐标，即可解决问题．
如图中，在上截取，使得，作轴交的延长线于证明≌，推出，，即可构造正方形，连接，则点在线段时上，作的角平分线交于，过点作于，于，于证明≌，退出，，因为是的内心，退出，证明≌，推出，设，同法可证，再证明，，，，在中，利用勾股定理构建方程求出，即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．