广东省汕头市金山中学2023届高三数学上学期摸底考试试题（Word版附答案）

这是一份广东省汕头市金山中学2023届高三数学上学期摸底考试试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（1～8题）
1．已知集合，，则=( )
A．B．C．D．
2．设复数满足，则=( )
A．B．C．D．
3．已知平面向量满足，，，则的最小值为( )
A．1 B．C．2 D．3
4．等差数列的前项和为，若，，则=( )
A．27 B．45 C．18 D．36
5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
6．已知，则=( )
A．B．C．D．
7．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为( )
A．B．C．D．
8．设函数有4个不同零点，则正实数的范围为( )
A．B．C．D．
（9-12多选题）
9．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．D．的解集为或
10．函数在一个周期内的图象可以是( )
11．下列判断，正确的选项有( )
A．若的图象关于点对称是奇函数
B．曲线的图象关于直线对称；
C．函数定义在上的可导函数，其导函数为奇函数，则为偶函数．
D．函数定义在上的可导函数，导函数，且是偶函数，则
的图象关于点对称．
12．如图，正方形中，，，将沿
翻折到位置，点平面内，记二面角大
小为，在折叠过程中，满足下列什么关系( )
A．四棱锥最大值为B．角可能为61°
C．D．
二、填空题
13．已知向量，，且，则=.
14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴
所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，
水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25
米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为
____．
15．已知，若存在常数，使恒成立，则的取值
范围是.
16．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，则的最小值为.
三、解答题（17题10分，其余每题各12分）
17．记为数列的前项和，已知
1)证明：是等差数列；
2)若成等比数列，求的最小值．
18．设的三个内角所对的边分别为且.
1)求角的大小；
2)若，求的取值范围．
19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；
20．如图，在四棱锥中，底面正方形，平面底面，平面
底面，，分别是
的中点，为的
中点．
1)证明：平面；
2)求与平面所成角的正弦值．
21．已知为椭圆的左焦点，直线与交于两
点，且的周长和面积分别是和2．
1)求椭圆的方程；
2)如图，若关于原点的对称点为，不经过且斜率为的直线与交于点直线与交于点，证明点在定直线上．
22．已知函数，和,
1)若与有相同的最小值，求的值；
2)设有两个零点，求的取值范围．
数学参考答案
单选1～8题 CADB ACBA
（9～12多选题）9．ABC 10．AC 11．ACD 12．AD
-18，，
17．1)由已知①②
由①-②，得即
，且是以2为公差的等差数列． ………………5分
(2)由(1)可得，成等比数列，
即，解得
当且仅当，即时，的最小值为-13 ……………………………10分
18．解：1）在中，. ……………………………1分
，
，……………………………2分
由正弦定理……………………………3分
，，…………………………4分
，……………………………5分
2），…………………………7分
……………………………10分
， ………………………11分
，当取得最大值
所求的………………………12分
19．1)由频率分布直方图的性质可得，，
设中位数为，解得．………4分
2)的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1
从中分别抽取7人，3人，1人，………………………6分
所有可能取值为0，1，2，3，……………………7分
，，，
故的分布列为：
……………………10分
故………………………12分
20．
1)如图，取中点，连接分别是的中点，，又分别是的中点，，平面平面，平面，同理，分别是的中点，平面，平面平面，又，平面平面平面平面平面，平面，……………………………………6分
2）先证平面………………………………7分
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，可得，，…………………………8分
设平面的法向量为，可得，即，令，得，………………………………10分
故，
即与平面所成角的正弦值为．……………………12分
21．
(1)解：将代入中，解得，则，……………………1分
所以的面积为，所以. ① ……………………2分
设的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知，
所以的周长为，所以
，②由①②解得，……………………4分
所以的标准方程为. …………………………5分
(2)解：设，直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程，并消去得，
则，得且，且，…………7分
，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，……9分
联立直线与直线的方程，得，
得，，所以
所以，即点在定直线上. ……………………12分
22．解：1），
当时，单调递减，无最值，，得
说单调……………………………………2分
说单调……………………………3分
依题……………………………4分
2）
，令，，……………………………6分
…………………………8分
又，得………………………9分
，
在与各有一个零点．……………………………11分
所以所求的……………………………12分
0
1
2
3