河北省邢台市名校联盟2023届高三数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

2023届河北省高三年级开学考试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题

1. 若集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

2. 复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

3. 已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 不存在

【答案】B

4. 2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（）米/秒

A. 10.1 B.  C. 14.8 D.

【答案】D

5. 如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（）

A. 4 B.  C.  D.

【答案】C

6. 过抛物线C：焦点F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点A 在x轴上方），已知点，则（）

A.  B. 4 C.  D. 9

【答案】D

7. 如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（）

A. ，使，. B. ，使，.

C. ，使，. D. ，使，.

【答案】D

二、选择题

9. 已知平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（）

A. 6 B.  C.  D.

【答案】AC

10. 随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）

A. A发生的概率为0.6 B. B发生且A不发生的概率为0.2

C. A或B发生的概率为0.9 D. A与B同时发生的概率0.2

【答案】BD

11. 函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（）

A. 在区间单调递增.

B. 在区间有六个零点.

C. 直线是曲线的对称轴.

D. 图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.

【答案】BC

12. 已知函数，则下列选项正确的是（）

A. 上递增；在上递减.

B. 时，有两个根.

C. 当时，过能做两条切线.

D. 方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

【答案】ABCD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题

13. 展开式中的项的系数是______.

【答案】30

14. 数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式______（写一个符合条件的即可）.

【答案】 （答案不唯一）

15. 中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为______.

【答案】

16. 已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为______.

【答案】##

四、解答题

17. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，面积为S，且.

（1）求角A的大小.

（2）当a取最小值时，求的周长和面积.

【答案】（1）

（2）周长为，面积为

18. 数列的前n项积.数列的前n项和.

（1）求数列、的通项公式.

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），，

（2）前n项和为，

19. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面.

（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；

（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得平面ABCD⊥平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.

【小问1详解】

取中点为，连接,

在中，∵为的中点，为中点，

∴,

在正方形中，∵为的中点，

∴,

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，平面，平面，

∴平面；

【小问2详解】

在正三角形中，为的中点，

∴，

又∵，平面，平面，

∴AM⊥平面，平面PCD，

∴AM⊥DC，

∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，

∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，

取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝2，则，，，，，

，，，，

设平面MDN的法向量为，

，令，则，

设平面PDC的法向量为，

，令，则，

∴，

∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.

20. 全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：

（1）若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？

（2）若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.

【答案】（1）甲（2）0.632

21. 已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.

（1）求点的轨迹方程.

（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.

【答案】（1）；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设，由题可得，，根据斜率公式结合条件即得；

（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.

【小问1详解】

由题意得，，

设，，，

则，，

即，，得，

又∵点在C上，即，得，

∴；

【小问2详解】

∵，

设直线方程为，则方程为，

联立，得（且），

设，得，，

同理设，得，，

，，

∴，即，

∴以MN为直径圆一定过C的左顶点.

22. 已知函数.

（1）若的最小值为0，求a的值；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）e（2）