河南省信阳高级中学2023届高三数学（理）上学期开学考试试题（Word版附答案）

这是一份河南省信阳高级中学2023届高三数学（理）上学期开学考试试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了已知角α的终边上有一点P，若函数f，将函数f等内容，欢迎下载使用。
第 卷
一．选择题（共13小题）
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣2＜x≤2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤2}
2．i为虚数单位，若是实数，则实数b的值为（ ）
A．3B．C．D．﹣3
3．已知角α的终边上有一点P（，﹣1），则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
4．若的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（ ）
A．729B．64C．1D．﹣1
5．已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝3，则数列{b2n}的前8项的和为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数f（x）是奇函数，则g（﹣3）＝（ ）
A．4B．3C．﹣3D．﹣4
7．设a＞0，b＞0，且a+b＝1，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观，宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓汉字本身且有丰富的音象利可朝的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为（ ）
A．60B．90C．120D．150
9．将函数f（x）＝2sin的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[]上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝5，BD＝8，AC＝3，则以点C为球心，以为半径的球被平面ABD截得的图形面积为（ ）
A．πB．C．D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2+y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，|F2A|＝a，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝8，且，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
第 卷
二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中的横线上。
13． ．
14．已知函数f（x）＝x﹣sinx，则满足不等式的x的取值范围是 ．
15．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，则的值为 ．
16．已知函数f（x）＝x（x﹣ex）+e2x+mex（x﹣ex）有三个零点x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.718为自然对数的底数，则的范围为 ．
三．解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。
17．已知函数f（x）＝ksin（2x+φ）（k＞0，0＜φ）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝0，3sinB＝4sinC，且△ABC的面积为3，求a的值．
18．乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．
（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；
（2）假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望．
19．如图，AB 是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，
E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l∥平面PAC；
（2）若PC＝AB＝2，点C是的中点，求二面角E﹣l﹣C的正弦值．
20．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，直线FA的斜率为，且原点O到直线FA的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过点D（4，0）的动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线A1P，A2Q相交于点E，证明：点E在定直线上．
21．已知函数f（x）＝（x+b）（ex﹣a）（b＞0）在（﹣1，f（﹣1））处的切线l方程为（e﹣1）x+ey+e﹣1＝0．
（1）求a，b，并证明函数y＝f（x）的图象总在切线l的上方（除切点外）；
（2）若方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，证明：．
四．选考题：共10分.请考生在22~23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.
22．直线l过点A（﹣2，﹣4），倾斜角为．
（Ⅰ）以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O作l的垂线，垂足为B，求点B的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）；
（Ⅱ）与曲线（t为参数）交于M，N两点，证明：|AM|，|MN|，|AN|成等比数列．
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）+f（2x+2）＞3的解集M；
（2）设a，b∈M，求证：．
2023届高三上期理数答案
一．选择题（共13小题）
B．A．B．C．B． C．B．D．B．B． A．B．
二．填空题（共3小题）
ln2． （，+∞）． 2． ．
三．解答题（共7小题）
17．解：（1）由图及f（x）的最值可知k＝2，
又f（0）＝2sinφ，即sinφ，且0＜φ，所以φ，
所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x），
由2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
所以f（x）得单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）由f（A）＝0，即sin（2A）＝0，所以2Akπ，k∈Z，即A，k∈Z，
又0＜A，所以A，
又3sinB＝4sinC，由正弦定理得3b＝4c，①
又△ABC的面积为3，所以bcsinAbc＝3，所以bc＝12，②
联立①②可得b＝4，c＝3，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝16+9﹣2×4×313，
所以a．
18．（1）设这局比赛甲以先得（11分）获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得（11分）获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得（11分）获胜．
事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则，
事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则；
则；
（2）X的可能取值为1，2，3，4．
，，，，
所以X的分布列为：
其中．
即数学期望为．
19．解：（1）证明：∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC，
∵AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC，
又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，
∴EF∥l，∵l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
∴l∥平面PAC．
（2）如图，∵AB是圆O的直径，点C是的中点，AB＝2，
∴CA⊥CB，CA＝CB，
∵直线PC⊥平面ABC，∴PC⊥CA，PC⊥CB，
∴以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F（0，0，1），B（0，，0），E（，0，1），
∴（0，，1），（，，1），
设平面EFB的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，则（0，1，），
∵直线PC⊥平面ABC，∴（0，0，1）是平面ABC的法向量，
∴cs，
∴二面角E﹣l﹣C的正弦值为．
20．解：（1）设F（c，0），A（，b），由已知有：，
解得：，
故椭圆的标准方程为，
（2）由已知有动直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线与椭圆联立可得：（t2+4）y2+8ty+12＝0，
Δ＝16（t2﹣12）＞0，，，
故，，
联立两直线令y相等，，
将韦达定理代入化简可得：，解得x＝1，
故E点必在定直线x＝1上．
21．解：（1）由题意f（﹣1）＝0，所以，
又f'（x）＝（x+b+1）ex﹣a，所以，
若，则b＝2﹣e＜0，与b＞0予盾，故a＝1，b＝1．
∴f（x）＝（x+1）（ex﹣1），f（0）＝0，f（﹣1）＝0，
证明：设f（x）在（﹣1，0）处的切线l方程为，
令F（x）＝f（x）﹣h（x），
即，
当x≤﹣2时，，
当x＞﹣2时，设，G'（x）＝（x+3）ex＞0，
故函数F'（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又F'（﹣1）＝0，
所以当x∈（﹣2，﹣1）时，F'（x）＜0，当x∈（﹣1，+∞）时，F'（x）＞0，
综合得函数F（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（﹣1）＝0，
即函数y＝f（x）的图象总在切线l的上方（除切点外）；
（2）证明：由（1）知f（x1）≥h（x1），
设h（x）＝m的根为x'1，则，
又函数h（x）单调递减，故h（x'1）＝f（x1）≥h（x1），故x'1≤x1，
设y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝t（x），易得t（x）＝x．
令T（x）＝f（x）﹣t（x）＝（x+1）（ex﹣1）﹣x，T'（x）＝（x+2）ex﹣2，
当x≤﹣2时，T'（x）＝（x+2）ex﹣2≤﹣2＜0，
当x＞﹣2时，设H（x）＝T'（x）＝（x+2）ex﹣2，则H'（x）＝（x+3）ex＞0，
故函数T'（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又T'（0）＝0，
所以当x∈（﹣2，0）时，T'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，T'（x）＞0，
综合得函数T（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，
所以T（x）≥T（0）＝0，即f（x2）≥t（x2）．
设t（x）＝m的根为x'2，则x'2＝m，
又函数t（x）单调递增，故t（x'2）＝f（x2）≥t（x2），
故x'2≥x2，又x'1≤x1，．
22．解：（Ⅰ）直线l过点A（﹣2，﹣4），倾斜角为，
则直线l的方程为y+4＝1×（x+2），即x﹣y﹣2＝0，
设l与x轴交点为D（2，0），又OB⊥l，∴，
又∵，∴点B的极坐标为（）；
证明：（Ⅱ）由曲线（t为参数），消去参数t，可得y2＝2x，
将l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程y2＝2x，
得，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，得，t1t2＝40．
∴|AM||AN|＝|t1t2|＝40，，可得|AM||AN|＝|MN|2，
∴|AM|，|MN|，|AN|成等比数列．
23．解：（1）由f（x）+f（2x+2）＞3得|2x+1|+|x﹣1|＞3，
当时，原不等式可化为﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＞3，解得x＜﹣1；
当时，原不等式可化为（2x+1）﹣（x﹣1）＞3，解得x＞1，此时无解；
当x＞1时，原不等式可化为（2x+1）+（x﹣1）＞3，解得x＞1；
综上，所求不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
（2）证明：要证，只需证，即证，
即证|b﹣a|＜|ab﹣1|，即证（b﹣a）2＜（ab﹣1）2，
而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2＝a2b2﹣a2﹣b2+1＝（a2﹣1）（b2﹣1），由a，b∈M，得a2＞1，b2＞1，
∴（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即得证．X
1
2
3
4
p