江苏省扬州市高邮中学2022-2023学年高三上学期开学调研测试数学试题（Word版含答案）

2022—2023学年第一学期高三期初学情调研测试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则（    ）

A．      B．       C．         D．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件       C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

3．若复数z满足，则z的共轭复数为（    ）

A．        B．         C．          D．

4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A．        B．          C．         D．

5．已知，则（    ）

A．1           B．2           C．          D．3

6．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．如果，那么       B．如果，那么

C．如果，那么         D．如果，那么

7．已知函数，则（    ）

A．的最小值为2                   B．的图像关于y轴对称

C．的图像关于直线对称      D．的最小正周期为

8．已知，其中e为自然对数的底数，则（    ）

A．       B．        C．       D﹒

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．设函数的图象为曲线E，则（   ）

A．将曲线向左平移个单位长度后与曲线E重合

B．将曲线上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则与曲线E重合

C．将曲线向左平移后所得图象对应的函数为奇函数

D．若，且，则的最小值为

10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）

A．若，则

B．点，与向量同方向的单位向量为

C．若，则与的夹角为60°

D．若向量，则向量在向量上的投影向量为

11．已知a，b为正实数，且，则（   ）

A．ab的最大值为8                  B．的最小值为8

C．的最小值为         D．的最小值为

12．已知函数及其导数的定义域均为R，记．若为偶函数，为奇函数，则（   ）

A．      B．      C．      D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，，M在边BC上，且，则_____．

14．P是梯形ABCD外一点，，则_____．

15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．

16．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，恒成立，则m的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知集合．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18．设向量

（1）若，求的值；

（2）设函数，求的零点．

19．在四棱锥中，．

（1）证明：平面平面PBC﹔

（2）若，直线PB与平面PAC所成的角为30°，求PD的长．

20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求B﹔

（2）若，求的值．

21．（12分）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．我国目前为止尚无猴痘病例报告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

（1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率：

（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当P为何值时，最大?

附：

22．（12分）已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与x轴平行．

①求实数a的值：

②证明：函数在内只有唯一极值点；

（2）当时，证明：对于区间内的一切实数，都有．

2022——2023学年第一学期高三期初学情调研测试

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A  考查：集合之间的关系、集合的基本运算

2．A  考查：充分条件与必要条件的概念与判断

3．A  考查：复数运算、概念

4．B  考查：函数概念、三要素、性质

5．B  考查：向量数量积、模、坐标运算

6．B  考查：不等式性质

7．C   考查：三角函数的最值、奇偶性、对称性、周期性

8．B   解析：因为，所以﹔

因为，所以：

因为，所以：

设

设

在上，，递减，所以

所以，递增，所以，即

所以

综上：

考查：构造函数比较指对幂大小

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．AD   考查：三角函数图象变换、函数性质

10．ABD   考查：向量概念、数量积、投影向量

11．ABC   考查：基本不等式及相关结论的应用

12．BCD   考查：抽象函数性质

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．考查：正、余弦定理的应用

14．

解析：

法1  设，则，故．

则，

法2  ，所以，则，则

．

考查：向量的线性运算

15．  考查：函数（分段函数，知单调性求参量，数形选择）

16．  考查：函数奇偶性运用、不等式恒成立、基本不等式求最值

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）若，则，      2'

又，所以．             4'

（2），

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集．           6'

于是，解得，

所以实数a的取值范围是．          10'

考查：交集及其运算，子集与必要不充分条件的定义．

18．解：（1）由，得，           2'

所以或，

若，则；                 ．4'

若，又，则

综上，的值为1或               6'

（2）

．                   9'

令，得，又，知，

则，所以．          ．12'

考查：向量共线、数量积坐标表示，同角三角函数关系，恒等变换公式，三角函数给值求角．

19．证明：（1）在平面四边形ABCD中，，所以四边形ABCD

是等腰梯形，由平面几何知识，可知，则，所以，       ．2'

又，BC，平面PBC，所以平面PBC，        4'

又平面PAC，所以，平面平面PBC               6'

（2）以C为原点，CA，CB分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，

因为平面PBC，，可设，则，设

平面PAC的法向量为，

则，取，则            9'

则，因为，所以，           11'

则，又，所以         12'

考查：线面垂直、面面垂直判定，线面所成角运用

20．解：（1）由，可得，

由正弦定理得，即，          2'

由余弦定理，得，

因为，可得．                 5'

（2）由

及得﹐                   ．8'

又由（1），得              10'

所以，所以，所以．            ．12'

考查：正余弦定理运用

21．解：（1）假设：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关

依题意有，

故假设不成立

∴没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；           3'

（2）由题意得、该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，

设随机抽取的4人中至多有2人感染病毒为事件A，则

（或）                 ．7'

（3）

则，

令，则（舍去）

综上，当时，该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的可能性最大，    ．12'

考查：独立性检验，二项分布，三次函数导数求最值．

22．解：（1）①由题意得，

∵，∴即       2'

②证明：由①可知，，则

此时，

由零点定理结合单调性可知，存在唯一的，使得

∴函数在内只有唯一极值点，且取得极小值故原命题得证           6

（2）证明：要证对于区间内的一切实数，都有，即证

由（1）可知，在上单调递增，且

∴

∵，∴

以下，对的正负进行分类讨论：

1、当，即时，

由在上单调递增，则．

∴在上单调递减，∴，命题得证；

2、当，即时，

由（1）②可知：

∵∴命题得证

综上，当时，对于区间内的一切实数，都有．         12'

考在，导数几何意义，零点存在性定理，极值定义，恒成立问题