2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（B卷）（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（B卷）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列各式中，是的二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    在中，，，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    球沿坡角的斜坡向上滚动了米，此时钢球距地面的高度是米．(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，某海监船以海里小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至处时，测得岛屿恰好在其正北方向，继续向东航行小时到达处，测得岛屿在其北偏西方向，保持航向不变，又航行小时到达处，此时海监船与岛屿之间的距离即的长为(    )

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

7.    已知函数，，在此函数图象上有、、三点，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知，，，，，在线段上有一点，使得和相似，则满足条件的点的有个．(    )

A.  B.  C.  D. 无数

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9.    抛物线对称轴是______．
10. 已知为锐角，，则的度数为______ ．
11. 如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是，则四边形的面积为______．

12. 若二次函数图象的顶点在轴上方，则实数的取值范围是______ ．
13. 二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表格所示，那么它的图象与轴的另一个交点坐标是______．

14. 若太阳光线与地面成角，，一棵树的影子长为米，则树高的范围是取______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，其中点、分别在轴、轴上，是轴负半轴上一点，，过点的直线分别与轴、边交于点、点，连接当与相似时，则的长为______ ．

16. 如图，在中，是角平分线，的交点．若，，则的值是______．

17. 如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中不全等的相似三角形共有______对．

18. 如图，是等边边上的一点，且：：，现将折叠，使点与重合，折痕为，点、分别在、上，则：的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 求的值．

四、解答题（本大题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    如图，在四边形中，，，连接，如果，求的长．

21. 本小题分
    如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点处，自己的影长，沿方向到达点处再测自己的影长，如果小明的身高为，求路灯杆的高度．

22. 本小题分
    如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点若点是线段上的动点，过点作直线轴，交抛物线于点求线段的最大值．

23. 本小题分
    如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，过点作的垂线交边于点当点从点运动到点时，求点运动的路程．

24. 本小题分
    一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，面向方向继续飞行米到达点，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求无人机飞行的高度结果精确到米，参考数据：，．

25. 本小题分
    如图，点在的边上，已知，，，，求的度数．

26. 本小题分
    如图，抛物线经过点，点，且点、为直线上的两个动点，且，点在点的上方．当四边形的周长最小时，求点的坐标．

27. 本小题分
    现有一边长，高的三角形木板．按如图所示方法矩形顶点、分别在、边上，在边上对三角形木片进行裁剪，要使得矩形面积最大，应如何裁剪？求出长度即可

28. 本小题分
    已知二次函数的图象经过点．
    
    求该二次函数的表达式；
    二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
    在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.

，是的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.是的二次函数，故本选项符合题意；
D.当时，不是的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选D．
根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
本题考查了抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
．
故选：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：设钢球距地面的高度为，
．
．
故选：．
当钢球沿斜坡向上滚动时，若过钢球向地面作垂线，那么在构成的直角三角形中，钢球距地面的高度即为已知角的对边，已知了斜边，可利用正弦函数来解．
本题考查了接直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是理解：一个角的正弦等于这个角的对边比斜边．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
由题意，
，
，
，
，
，
，
海里，
故选：．
首先证明，推出，可得，求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是证明出．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
对称轴为，
关于直线的对称点为，
，
图象开口向下，当时，随的增大而增大，
，
，
故选：．
根据已知可得该抛物线开口向下，再求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性，求出点关于直线的对称点，再利用增减性即可解答．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
当或时，和相似，
当时，则，解得：，
当时，则，解得：，
的值有三个，
故选：．
分两种情况讨论，由三角形的性质可列出等式，可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】直线 

【解析】解：由对称轴公式可得：
对称轴是：直线，
故答案为：直线．
利用对称轴公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：为锐角，，
，
．
故答案为：．
先根据为锐角及解答即可．
本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，点、分别是、的中点，
，且，
∽，
的面积：的面积：，
的面积：四边形的面积：，
的面积是，
四边形的面积是，
故答案为：．
由都是中点，可得是的中位线，则，则∽，且相似比是：，则的面积和的面积比是：，则的面积：四边形的面积：，结合已知条件，可得结论．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为，
将代入，得，
所以抛物线的顶点为，
，
，
故答案为：．
求得对称轴为直线，代入解析式得到，根据题意，解得．
本题考查二次函数图象和系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的一个交点坐标为．
故答案为．
根据表中数据得到点和对称，从而得到抛物线的对称轴为直线，再利用表中数据得到抛物线与轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线的对称性就得到抛物线与轴的一个交点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
当时，．
当时，．
．
利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．
本题考查了三角函数定义的应用．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当∽时，，

，
，
，
，
点的横坐标为，
．
当∽时，过点作于．

，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
设，则，
，
，
或舍弃，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
分两种情形：当∽时，，证明，求出点的横坐标即可解决问题．当∽时，过点作于证明∽，可得，设，则，构建方程求出，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，平分，
，，
在中，，
，
平分，
，
，，
≌，
，，
，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
故答案为：．
过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出，再利用角平分线的定义可得，然后利用证明≌，从而利用全等三角形的性质，，进而求出，最后设，则，从而在中，利用勾股定理求出的值，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：把绕点旋转得到与重合，

≌，，
，
∽；
：：，
而，
∽；
把绕点旋转得到与重合，
，，，
，
∽．
图中不全等的相似三角形共有对，
故答案为：．
根据旋转的性质得到≌，，利用三角形内角和得到，则可判断∽；根据相似的性质得：：，而，则可判断∽；由于，，，所以，于是可判断∽．
本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】： 

【解析】解：设，则，
为等边三角形，
，，
，
又，
，
∽，
由折叠得：，，
的周长为，的周长为，
与的相似比为：
：：：．
故答案为：：．
求出∽，由折叠得出，，求出的周长为，的周长为，得出与的相似比即可．
本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是求出相似三角形．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】分别把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：，，，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
可以得到∽，∽，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得，．
答：路灯杆的高度为． 

【解析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
 

22.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点的坐标，
抛物线与轴的另一个交点的坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为． 

【解析】先利用对称性得到点的坐标为，设交点式，再把把点坐标代入求得，则抛物线解析式为，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，所以，然后根据二次函数的性质求的最大值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
∽，
，
设，，
正方形的边长为，
则，
，
，
抛物线的顶点为，开口向下，
时，，
当点从点运动到点时，点运动的路程为． 

【解析】根据正方形的性质证明∽，可得，设，，当点从点运动到点时，点运动的路程即为抛物线的最大值．
本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，三角形相似的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
 

24.【答案】解：过作，交的延长线于，如图所示：
设米，
由题意得：米，，，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
答：无人机飞行的高度约为米． 

【解析】过作，交的延长线于，设米，由锐角三角函数定义求出米，米，再由米得出方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，作于点，
，，，
，
，，
，
，
∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是． 

【解析】作于点，先证明∽，则，所以，，再推导出，则，再根据勾股定理证明，则，即可求得．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：在轴上取点，使，连接，交直线于点，
四边形为平行四边形，
，
，

，
，．
，，
，
直线为抛物线的对称轴，
，
，
的最小值为，
四边形的周长最小值为：，
，，
直线：，
令，则
的坐标． 

【解析】在轴上取点，使，连接，交直线于点，所以的最小值为，则四边形的周长最小值为：，可得直线：，令，则，即求得的坐标．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点点来求最小值，是本题的难点．
 

27.【答案】解：如图所示，设，
，
∽，
又，，
，即，
，
，
，
当时，矩形面积最大为，
即长度为时，矩形的面积最大． 

【解析】设，依据∽，即可得到，进而得出，再根据，即可得到当时，矩形面积最大为．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值．
 

28.【答案】解：把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
过作于，如图：

在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为；
在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：

同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或． 

【解析】把点代入解析式，求出的值，即可得到解析式；
过点作于点，利用表示出的高，然后表示出的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
由，，知与相似只需为直角三角形，分两种情况：当时，是等腰直角三角形，，有，解得；当时，，解得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．