福建省福州市鼓楼区延安中学2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州市鼓楼区延安中学2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市鼓楼区延安中学2022-2023学年九年级上学期
开门考数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点坐标是（　　）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
2．（4分）已知x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
3．（4分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：
编织数量/个
2
3
4
5
6
人数/人
3
6
5
4
2
请根据上表，判断下列说法正确的是（　　）
A．样本为20名学生 B．众数是4个
C．中位数是3个 D．平均数是3.8个
4．（4分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣4 B． C． D．4
5．（4分）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（4分）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（　　）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
8．（4分）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DFBC；
②∴CFAD．即CFBD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE＝BC．
则正确的证明顺序应是：（　　）

A．②→③→①→④ B．②→①→③→④ C．①→③→④→② D．①→③→②→④
9．（4分）三角形然幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则x+y+z的和是（　　）

A．6 B．15 C．18 D．24
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，且M（﹣4，c），N（﹣3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（　　）
A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为 　 　．
12．（4分）如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝30，BC＝40．则图中阴影部分的面积为　 　．

13．（4分）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　 　．

14．（4分）已知x1，x2，x3，…，x10的平均数是a，x11，x12，x13，…，x50的平均数是b，则x1，x2，x3，…，x50的平均数是 　 　．
15．（4分）在四边形ABCD中，AC＝AD，∠ABC＝∠BDC＝30°，AD＝2，BD＝5，则BC的长度为 　 　．

16．（4分）在直角梯形ABCD中，∠A为直角，AB∥CD，AB＝7，CD＝5，AD＝2．一条动直线l交AB于P，交CD于Q，且将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则点A到动直线l的距离的最大值为　 　．
三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2＝2；
（2）x2﹣x﹣＝0．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．

19．（8分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：

b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 　 　的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 　 　（填“甲”“乙”或“丙”）．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．

21．（8分）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
（1）如图1，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
（2）如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
23．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠D为直角，AB∥CD，点E是AD的中点，EF⊥BC于F，且EF＝AD，连接BE交AC于G．
（1）求证：AB+CD＝BC；
（2）若AD＝8，BC＝10，求BG的长．

25．（14分）已知二次函数y＝a2x2﹣4a2x+b的图象上恰好只有三个点到x轴的距离为1．
（1）求a，b应满足的数量关系．
（2）当该二次函数图象经过点（0，3）时，对于实数p，q，n（其中p＜2，q＞2，n＞0），当p≤x≤q时，y的取值范围恰好是p≤y≤nq．
①若n＝2，求p，q的值．
②若存在这样的实数p，q，求n的取值范围．

福建省福州市鼓楼区延安中学2022-2023学年九年级上学期
开门考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点坐标是（　　）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【分析】把y＝0代入即可求出直线y＝﹣2x+6与x轴的交点坐标．
【解答】解：当y＝0时，0＝﹣2x+6，
∴x＝3，
即直线y＝﹣2x+6与x轴的交点坐标为（3，0），
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了直线与x轴的交点的纵坐标为0求解．
2．（4分）已知x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣即可求解．
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
3．（4分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：
编织数量/个
2
3
4
5
6
人数/人
3
6
5
4
2
请根据上表，判断下列说法正确的是（　　）
A．样本为20名学生 B．众数是4个
C．中位数是3个 D．平均数是3.8个
【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【解答】解：A．样本为20名学生的编织数量，此选项错误，不符合题意；
B．众数是3，此选项错误，不符合题意；
C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，
∴中位数为＝4，此选项错误，不符合题意；
D．平均数为×（2×3+3×6+4×5+5×4+6×2）＝3.8（个），此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
4．（4分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣4 B． C． D．4
【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，
解得m＝．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（4分）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；
（2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；
（3）根据矩形的面积公式判断即可．
【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
6．（4分）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】通过证明三角形AEN，DNM，MCF，FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形．
【解答】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定．解决本题的关键是得到△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
7．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（　　）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
【分析】由于a+b+c＝0，即自变量为1时，函数值为0，根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．（4分）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DFBC；
②∴CFAD．即CFBD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE＝BC．
则正确的证明顺序应是：（　　）

A．②→③→①→④ B．②→①→③→④ C．①→③→④→② D．①→③→②→④
【分析】证出四边形ADCF是平行四边形，得出CFAD．即CFBD，则四边形DBCF是平行四边形，得出DFBC，即可得出结论．
【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CFAD．即CFBD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DFBC，
∴DE∥BC，且DE＝BC．
∴正确的证明顺序是②→③→①→④，
故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理的证明；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．（4分）三角形然幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则x+y+z的和是（　　）

A．6 B．15 C．18 D．24
【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．结合图形和已知条件得到方程组，进而求得a即可．
【解答】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有a+b+c＝1+2+…+9＝45①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有c+3b+2a＝6×18＝108②，
②﹣①，得a+2b＝108﹣45＝63③，
把AB，BC，CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得2a+b＝3×18＝54④，
联立③，④，解得a＝15，b＝24，
则x+y+z＝15．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，数字的变化类，解题要特别注意三角形的顶点的数字的重复使用，能够根据各边的数字之和列方程组求解．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，且M（﹣4，c），N（﹣3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（　　）
A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，说明a＜0，对称轴x＝﹣1，假设选项成立，逐项判断即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，
A、若M和N不在该二次函数图象上，则由题意知P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）一定在图象上，而x＞﹣1时y随x增大而减小，这与Q（2，n），R（3，n+1）矛盾，故A不符合题意；
B、若Q和R不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，而抛物线与y轴交点（0，c）一定在图象上，这样抛物线对称轴为x＝＝﹣2，这与抛物线对称轴为x＝﹣1矛盾，故B不符合题意；
C、M和Q可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；
D、若P和Q不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，同B理由，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标特征，解题的关键是假设选项成立，逐项判断正误．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为 　3　．
【分析】直接把x＝﹣1代入方程，即可求出a的值．
【解答】解：由题意得：
把x＝﹣1代入方程x2+ax+2＝0中，
则（﹣1）2+a•（﹣1）+2＝0，
∴1﹣a+2＝0，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解，正确求出a的值．
12．（4分）如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝30，BC＝40．则图中阴影部分的面积为　600　．

【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝40，
设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，
∴S△EAB+S△ECD＝AD•h1+BC•h2＝AD（h1+h2）＝AD•AB＝矩形ABCD的面积＝×30×40＝600；
故答案为：600
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．（4分）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　4a+2b　．

【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．
14．（4分）已知x1，x2，x3，…，x10的平均数是a，x11，x12，x13，…，x50的平均数是b，则x1，x2，x3，…，x50的平均数是 　　．
【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【解答】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，30个数的平均数为．
【点评】本题考查了平均数的求法，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
15．（4分）在四边形ABCD中，AC＝AD，∠ABC＝∠BDC＝30°，AD＝2，BD＝5，则BC的长度为 　　．

【分析】以CD为边作等边△CDE，连接EA并延长至F，使EF＝BD，连接BF、CF，由AC＝AD，CE＝CD，得AE是CD的垂直平分线，即有∠CEH＝30°，H是CD中点，证明△BCD≌△FCE（SAS），可得BC＝CF，∠BCD＝∠FCE，可得△BCF是等边三角形，根据∠ABC＝30°，知AB是CF的垂直平分线，从而AF＝AC＝AD＝2，设CH＝x，则EH＝x，AH＝3﹣x，在Rt△ACH中，x2+（3﹣x）2＝22，解得x＝，用勾股定理即得BC＝．
【解答】解：以CD为边作等边△CDE，连接EA并延长至F，使EF＝BD，连接BF、CF，如图：

∵AC＝AD，CE＝CD，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴∠CEH＝30°，H是CD中点，
∵CD＝CE，∠BDC＝∠CEF＝30°，BD＝EF，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴BC＝CF，∠BCD＝∠FCE，
∴∠BCF＝∠DCE＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∵∠ABC＝30°，
∴AB是∠FBC的平分线，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC＝AD＝2，
∵EF＝BC＝5，
∴AE＝EF﹣AF＝3，
设CH＝x，则EH＝x，AH＝3﹣x，
在Rt△ACH中，x2+（3﹣x）2＝22，
解得x＝或x＝（舍去），
∴BC2＝CF2＝CH2+FH2＝（）2+（5﹣×）2＝，
∴BC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查四边形综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，本题计算量较大，有一定难度．
16．（4分）在直角梯形ABCD中，∠A为直角，AB∥CD，AB＝7，CD＝5，AD＝2．一条动直线l交AB于P，交CD于Q，且将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则点A到动直线l的距离的最大值为　　．
【分析】设M、N分别是AD，PQ的中点，若直线l将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则根据梯形的面积公式就可以求出DQ+AP＝6，由此可以得到MN＝3，并且N是一个定点，若要A到l的距离最大，则l⊥AN，此时点A到动直线l的距离的最大值就是AN的长．
【解答】解：设M、N分别是AD，PQ的中点，
∵S梯形ABCD＝（DC+AB）•AD＝12
若直线l将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则S梯形APQD＝（DQ+AP）•AD＝6，
∴DQ+AP＝6
∴MN＝3
∴N是一个定点
若要A到l的距离最大，则l⊥AN
此时点A到动直线l的距离的最大值就是AN的长
在Rt△AMN中，AM＝1，MN＝3
∴AN＝＝．

【点评】此题首先要确定l在什么位置时A到l的距离最大，然后利用勾股定理和梯形的面积公式就可以求出最大值．
三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2＝2；
（2）x2﹣x﹣＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2＝2，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2﹣x﹣＝0，
（x﹣）（x+）＝0，
x﹣＝0或x+＝0，
x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】（1）根据题目要求作图即可得；
（2）先证∠CEB＝∠B，∠B＝∠ACB得∠CEB＝∠DCE，据此知DC∥AB，结合DC＝AC，AB＝AC可得．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，
∵AB＝AC，
∴DC＝AB，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠CEB＝∠DCE，
∴DC∥AB，
又∵DC＝AC，AB＝AC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质、平行四边形的判定及全等三角形的性质等知识点．
19．（8分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：

b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 　甲　的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 　丙　（填“甲”“乙”或“丙”）．
【分析】（1）根据平均数的定义即可求解；
（2）计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；

（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，
乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，
∵S2甲＜S2乙，
∴评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；

（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；
乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；
丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，
∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．
【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．

【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8分）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
（1）如图1，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
（2）如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
【分析】（1）连接AC，BD，BE，BE交AC于点J，连接DJ，延长DJ交BC于点F，点F即为所求；
（2）作CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于点O，连接AO，延长AO交BC于点H，线段AH即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点F即为所求；
（2）如图，线段AH即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的重心，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．
【解答】解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
23．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠D为直角，AB∥CD，点E是AD的中点，EF⊥BC于F，且EF＝AD，连接BE交AC于G．
（1）求证：AB+CD＝BC；
（2）若AD＝8，BC＝10，求BG的长．

【分析】（1）由“HL”可证Rt△DEC≌Rt△FEC，Rt△ABE≌Rt△FBE，可得DC＝CF，BF＝AB，可得结论；
（2）过点C作CM⊥AB于M，判断出四边形ADCM是矩形，得出AM＝CD，CM＝AD＝8，进而求出BM＝6，结合（1）的结论求出CD＝AM＝2，进而求出BE＝4，延长BE，CD相交于点N，得出△DEN≌△AEB（ASA），求出DN＝AB＝8，EN＝BE＝4，再判断出△CGN∽△AGB，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接CE，
∵点E是AD的中点，
∴DE＝AE＝AD，
∵EF＝AD，
∴DE＝AE＝EF，
在Rt△DEC和Rt△FEC中，
，
∴Rt△DEC≌Rt△FEC（HL），
∴DC＝CF，
同理可证：Rt△ABE≌Rt△FBE，
∴BF＝AB，
∴AB+DC＝CF+BF＝BC；

（2）如图2，
过点C作CM⊥AB于M，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
∵AB∥CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAM＝90°，
∴∠ADC＝∠DAM＝∠AMC＝90°，
∴四边形ADCM是矩形，
∴AM＝CD，CM＝AD＝8，
在Rt△CMB中，BC＝10，
根据勾股定理得，BM＝6，
由（1）知，AB+DC＝BC，
∴AM+BM+CD＝BC，
∴CD＝AM＝（BC﹣BM）＝2，
∴AB＝BM+AM＝8，
∵点E是AD的中点，AD＝8，
∴BE＝AE＝AD＝4，
根据勾股定理得，BE＝＝4，
延长BE，CD相交于点N，
∴∠DEN＝∠AEB，
∴△DEN≌△AEB（ASA），
∴DN＝AB＝8，EN＝BE＝4，
∴CN＝DN+CD＝10，BN＝8，
∵CD∥AB，
∴△CGN∽△AGB，
∴＝＝，
∴，
∴BG＝BN＝．


【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
25．（14分）已知二次函数y＝a2x2﹣4a2x+b的图象上恰好只有三个点到x轴的距离为1．
（1）求a，b应满足的数量关系．
（2）当该二次函数图象经过点（0，3）时，对于实数p，q，n（其中p＜2，q＞2，n＞0），当p≤x≤q时，y的取值范围恰好是p≤y≤nq．
①若n＝2，求p，q的值．
②若存在这样的实数p，q，求n的取值范围．
【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线对称轴，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为1可得顶点坐标，进而求解．
（2）①由抛物线经过（0，3）可得抛物线解析式，从而可得抛物线顶点坐标，由p＜2，q＞2可得函数最小值，分类讨论2＜q＜5，q≥5时最大值为2q，进而求解．
②分类讨论2＜q＜5，q≥5，用含n代数式表示q的取值范围，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝a2x2﹣4a2x+b，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵函数图象有3各点到x轴的距离为1，
∴抛物线顶点纵坐标为﹣1，即抛物线顶点为（2，﹣1），
将（2，﹣1）代入y＝a2x2﹣4a2x+b得﹣4a2+b＝﹣1，
∴b＝4a2﹣1．
（2）∵抛物线经过（0，3），
∴b＝3，
∴4a2﹣1＝3，即a2＝1，
∴函数解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
①∵抛物线对称轴为直线x＝2，p＜2，q＞2，
∴函数最小值为﹣1，
∴p＝﹣1，
当2＜q＜5时，将x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+3得y＝8为最大值，
即2q＝8，
解得q＝4，符合题意．
当q≥5时，将x＝q代入y＝x2﹣4x+3得y＝q2﹣4q+3＝2q为最大值，
解得q＝3+或q＝3﹣（舍）．
∴p＝﹣1，q＝4或3+．
②当2＜q＜5时，nq＝8，
∴q＝，
∴2＜＜5，
解得＜n＜4．
当q≥5时，q2﹣4q+3＝nq，整理得q2﹣（4+n）q+3＝0，
∴抛物线y＝q2﹣（4+n）q+3与x轴有交点，且q＝5时，y≤0，
即25﹣20﹣5n+3≤0，
解得n≥，
综上所述，n≥．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．