高考数学(理数)三轮冲刺复习小题必练19《平面向量》(2份打包，解析版+原卷版)

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1．平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景；②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；③理解向量的几何表示．2．向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；③了解向量线性运算的性质及其几何意义．3．平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及物理意义；②了解平面向量的数量积与两项投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．  1．【2020全国Ⅰ卷理科】设为单位向量，且，则_______．【答案】【解析】因为为单位向量，所以，所以，解得，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．2．【2020全国Ⅲ卷理科】已知向量，，满足，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，因此，，故选D．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中档题．  一、选择题．1．已知为非零向量，“”为“”的（    ）A．充分不必要条件  B．充分必要条件C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若成立，则，则向量与的方向相同，且，从而，所以；若，则向量与的方向相同，且，从而，所以，所以“”为“”的充分必要条件，故选B．2．已知向量，满足，，且，则（    ）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】因为，，，两边平方得，所以，所以，故选A．3．已知向量，，则与共线的单位向量为（    ）A．  B．C．或 D．或【答案】D【解析】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或，所以与共线的单位向量为或，故选D．4．已知，，点M满足，若，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由，，可知为直角三角形，设，则，而，几何关系如下图所示：因为，则，，所以，则，所以，即为中点，又因为点M满足，则，所以，由向量减法运算可知，因为为中点，所以，故选A．5．已知向量，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，且，则．其中错误命题的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】对于①，若，向量、的方向或模不一定相同，则不成立，故①错误；对于②，若，向量、的方向不一定相同，则不成立，故②错误；对于③，若，向量、的方向既不一定相同也不相反，则不成立，故③错误；对于④，若，则向量、的模相同，所以，故④正确；对于⑤，若，则，若，则，，此时，可取任意值，故⑤错误，故选D．6．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为三点共线，所以，即，，故选A．7．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】A【解析】，三点共线，，，则，当且仅当，即时等号成立．故选A．8．已知向量，是两个夹角为的单位向量，且，，，若，，三点共线，则（    ）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【解析】由，，三点共线，得，故，解得，则，故选A．9．已知平面非零向量，满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设两向量夹角为，则有，，所以，故选D．10．已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】，由题得的最小值为，即点O到直线的距离为，，故选C．11．梯形中，，，，若，则（    ）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】C【解析】因为，所以，所以，可得，，故选C．12．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，所以．当时，取得最大值5；当时，取得最小值2，的取值范围是，本题选C． 二、填空题．13．已知，且，则________．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，故答案为．14．已知正方形的边长为，若，则的值为_______．【答案】【解析】如图所示建立平面直角坐标系：则，，，，设，，，因为，，解得，所以，所以，，所以，故答案为．15．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为________．【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，向量，的夹角为，且，，则，，，又，，，，故答案为．16．如图，在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若，则的余弦值为_________．【答案】【解析】设，，，，，则，，得，，又，得，则，得，，得，，设，则，由，有，得，得，故答案为．