福建省福州市鼓楼区文博中学2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷(解析版)

这是一份福建省福州市鼓楼区文博中学2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）
开门考数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x（x﹣4）＝0 B．x2+y﹣3＝0 C．+x＝2 D．x3﹣3x+8＝0
3．（4分）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（4分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
5．（4分）抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是（　　）
A．y轴 B．直线x＝2 C．直线 D．直线x＝﹣3
6．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）
7．（4分）已知某等腰三角形的三边长都是方程x2﹣3x+2＝0的解，则此三角形的周长是（　　）
A．3或5 B．5或6 C．3或6 D．3或5或6
8．（4分）已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（　　）
A．1，3 B．3，﹣4 C．1，﹣3 D．3，﹣3
9．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的根是 　 　．
12．（4分）已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是　 　．
13．（4分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于　 　度．

14．（4分）某同学掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣x2+3x+18，则该同学的成绩是 　 　m．
15．（4分）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m2，设原来花圃长边为xm，可列方程 　 　．
16．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为　 　．
三、解答题（本大愿共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（y+2）2﹣6＝0．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）△ABC的面积 　 　．

19．（8分）若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过（﹣1，0）和（3，0）两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标和对称轴．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣a＝0
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．
21．（8分）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病（假设每轮每人传染的人数相同），求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
22．（10分）已知抛物线y＝3x2+2x．
（1）将抛物线的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求写出过程）；
（2）写出抛物线的对称轴和顶点坐标：当x取何值时，y随x的增大而减小；
（3）若直线y＝m与该抛物线有两个公共点，求m的取值范围．
23．（10分）如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．

24．（12分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

25．（14分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝2，且它的图象经过点（﹣a，b），求函数y1的解析式．
（2）若函数y2的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y1的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）
开门考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转对称图形的概念作答．
【解答】解：A、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
2．（4分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x（x﹣4）＝0 B．x2+y﹣3＝0 C．+x＝2 D．x3﹣3x+8＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．（4分）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】首先求出已知方程的判别式，然后根据判别式的正负情况即可判定根的情况．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的判别式，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×3＝﹣8＜0，
∴一元二次方程2x2﹣4x+3＝0没有实数根．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用一元二次方程判别式判定方程的根的情况，若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程没有实数根．
4．（4分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，
而a+1≠0，
所以a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（4分）抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是（　　）
A．y轴 B．直线x＝2 C．直线 D．直线x＝﹣3
【分析】根据所给的二次函数表达式，可知a、b、c的值，再代入对称轴的计算公式，即可求．
【解答】解：∵a＝2，b＝0，c＝3＝﹣3，
∴﹣＝﹣＝0，
故对称轴是直线x＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数求对称轴的计算方法．
6．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为：（2，2），
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．
7．（4分）已知某等腰三角形的三边长都是方程x2﹣3x+2＝0的解，则此三角形的周长是（　　）
A．3或5 B．5或6 C．3或6 D．3或5或6
【分析】利用因式分解法求出方程的解，分类讨论即可确定出此三角形周长．
【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0，分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
若1为腰，三角形三边为1，1，2，不能构成三角形，舍去；
若1为底，三角形三角形为1，2，2，周长为1+2+2＝5，
若三角形为等边三角形，周长为1+1+1＝3或2+2+2＝6，
综上，此三角形周长为3或5或6，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（4分）已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（　　）
A．1，3 B．3，﹣4 C．1，﹣3 D．3，﹣3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），
∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．
∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，
∴h＝1，k＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
9．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断y3＜y2；根据二次函数的性质即可判断y1＞y2＞y3．
【解答】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y3）和（0，y3）关于直线x＝1对称，
因为﹣2＜﹣1＜0，故y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的根是 　x1＝0，x2＝1　．
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣1）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣1＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故答案为x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
12．（4分）已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是　m＞1　．
【分析】由抛物线开口向下可得：1﹣m＜0，解得即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，
∴1﹣m＜0，
解得m＞1，
故答案为m＞1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于　125　度．

【分析】由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．
【解答】解：
∵旋转角为80°，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝45°+80°＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．
14．（4分）某同学掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣x2+3x+18，则该同学的成绩是 　6　m．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：由题意知，当y＝0时，﹣x2+3x+18＝0，
整理得：x2﹣3x﹣18＝0，
解得x1＝﹣3（舍去），x2＝6，
故此运动员的成绩是6m，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
15．（4分）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m2，设原来花圃长边为xm，可列方程 　x2﹣5x＝15　．
【分析】根据扩大后的正方形的面积比原长方形的面积增加15m2列出方程即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣5x＝15，
故答案为：x2﹣5x＝15．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，明确题中的等量关系是解题的关键．
16．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为　2或﹣　．
【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的增减性结合图象确定出函数值y取最小值﹣4时对应的x的值，代入解析式即可解决问题．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），的对称轴为x＝m，
∵当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴①若m＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，函数值y的最小值为﹣4，
可得：﹣4＝1+2m，
解得：m＝﹣；
②若﹣1≤m≤3，x＝m时，函数值y有最小值为﹣4，可得﹣4＝﹣m2，解得m＝2；
③若﹣1≤x≤3＜m，x＝3时，函数值y的最小值为﹣4，
可得：﹣4＝9﹣6m，解得m＝，不合题意；
∴m的值为2或﹣．
故答案为2或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的最值确定问题，分类讨论及数形结合思想的应用是解题的关键．
三、解答题（本大愿共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（y+2）2﹣6＝0．
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x+4＝6，
∴（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝，
∴，；
（2）（y+2）2﹣6＝0，
∴（y+2）2＝12，
∴y+2＝，
∴．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）△ABC的面积 　　．

【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）△ABC的面积＝3×3﹣2×2×3﹣1×1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19．（8分）若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过（﹣1，0）和（3，0）两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标和对称轴．
【分析】利用待定系数法求二次函数的解析式，把点 （﹣1，0）和（3，0）代入解析式，得出关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，得出二次函数的解析式，化成顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过（﹣1，0）和（3，0）两点，
∴，
解得a＝1，b＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析，抛物线的顶点坐标和对称轴．熟练掌握待定系数法和配犯法是解本题的关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣a＝0
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．
【分析】（1）根据△的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣a）＞0，然后解不等式可得到a的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到＝1，解得a＝﹣2，则方程化为2x2﹣5x+2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣a）＞0，解得a＞﹣，
即a的取值范围为a＞﹣；
（2）根据题意得＝1，
解得a＝﹣2，
方程化为2x2﹣5x+2＝0，变形为（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
21．（8分）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病（假设每轮每人传染的人数相同），求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数×（1+12），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（x+1）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）已知抛物线y＝3x2+2x．
（1）将抛物线的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求写出过程）；
（2）写出抛物线的对称轴和顶点坐标：当x取何值时，y随x的增大而减小；
（3）若直线y＝m与该抛物线有两个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k），结合对称轴及开口方向可确定抛物线的增减性；
（3）由函数图象与与方程组的关系直接可得答案．
【解答】解：（1）y＝3x2+2x＝3（x2+x）＝3（x2+x+）﹣＝3（x+）2﹣，
∴y＝3（x+）2﹣；
（2）由y＝3（x+）2﹣可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，顶点是（﹣，﹣），
∵3＞0，
∴当x≤﹣时，y随x的增大而减小；
（3）∵抛物线的顶点是（﹣，﹣），开口向上，
∴当m＞﹣时，直线y＝m与该抛物线有两个公共点．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，难度不大，关键掌握对称轴方程和判断函数的增减性．
23．（10分）如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．

【分析】（1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将直线AB的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出S△AOC的值；
（3）观察图象求得即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；

（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；

（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
24．（12分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【分析】（1）设AD＝xm，则AB＝m，解方程即可；
（2）根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据a的取值讨论即可．
【解答】解：（1）设AD＝xm，则AB＝m，
根据题意得x•＝225，
解得x1＝15，x2＝45，
∵AD≤a＝20，
∴AD＝15，
答：AD的长为15m；
（2）设AD＝xm．
∴S＝x•＝﹣（x2﹣60x）＝﹣（x﹣30）2+300，
当a≥30时，则x＝30时取S最大值，最大值为300平方米，
当0＜a＜30时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为﹣a2+20a，
综上所述，当a≥30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为300m2；当0＜a＜30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为﹣a2+20a．
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
25．（14分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝2，且它的图象经过点（﹣a，b），求函数y1的解析式．
（2）若函数y2的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y1的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【分析】（1）由对称轴可得b＝﹣4，再将点（﹣a，﹣4）代入y1＝x2+bx+a即可求a的值，进而求函数解析式；
（2）将点（r，0）代入y2，得到0＝ar2+br+1，再方程两边同时除以r2，是x2+bx+a＝0的解，即可证明函数y1的图象经过点（，0）；
（3）分别求出m＝a﹣，n＝1﹣，由题意可得a＞0，且（a+1）（4a﹣b2）＝0，即可得b2＝4a，从而求出m＝n＝0．
【解答】（1）解：∵函数y1的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y1＝x2﹣4x+a，
∵函数y1的图象经过点（﹣a，﹣4），
∴﹣4＝a2+4a+a，
∴a2+5a+4＝0，
解得a＝﹣1或a＝﹣4，
∴y1＝x2﹣4x﹣1或y1＝x2﹣4x﹣4；
（2）证明：∵函数y2的图象经过点（r，0），
∴0＝ar2+br+1，
∵r≠0，
方程两边同时除以r2得，++a＝0，
即（）2+b•+a＝0，
∴是x2+bx+a＝0的解，
∴函数y1的图象经过点（，0）；
（3）解：∵函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，
∴m＝a﹣，n＝1﹣，
∵m+n＝0，
∴a﹣+1﹣＝0，
∴（a+1）（4a﹣b2）＝0，
∴b2＝4a或a＝﹣1，
∵函数y1和函数y2都有最小值，
∴a＞0，
当b2＝4a时，m＝0，n＝0．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小）值的求法是解题的关键．