高考数学(理数)一轮复习教案：8.5《椭　圆》(2份打包，含详解+原卷版)

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第五节　椭　圆

1．椭圆的标准方程
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．椭圆的几何性质
掌握椭圆的简单性质．



知识点一　椭圆的定义

条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
F1，F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a>|F1F2|


易误提醒　当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
[自测练习]
1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．5 D．7
解析：∵a2＝25，∴2a＝10，
∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，
∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.
答案：D
知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

易误提醒　注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
必记结论　(1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成＋＝1(m2≠n2)的形式．
(2)以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，注意以下公式的灵活运用：
①|PF1|＋|PF2|＝2a；
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ；
③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ.
[自测练习]
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：因为焦点在x轴上，所以0 答案：
3．椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为________．
解析：由题意得2a＝6，故a＝3.又离心率e＝＝.所以c＝1，b2＝a2－c2＝8，故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：依题意得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，设|MF1|＝m，则有|MF2|＝m，|F1F2|＝2m，该椭圆的离心率是e＝＝－1.
答案：－1

考点一　椭圆的定义及方程|

1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
答案：D
2.(大庆模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．
由F(－2，0)，得c＝2.
由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.
在Rt△PF1F中，由勾股定理，得|PF1|＝＝＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：B
3．若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2.
在△F2PF1中，由余弦定理可得
cos∠F2PF1＝＝－.
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝.
答案：C

椭圆定义应用的两个方面
一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
　　
考点二　椭圆的几何性质|

　(1)(高考广东卷)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．9
(2)如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)由4＝(m>0)⇒m＝3，故选B.
(2)由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2，
∴＝2.又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝.根据勾股定理得2＋2＝(2c)2，所以离心率e＝＝.
[答案]　(1)B　(2)A

求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路
(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．
(2)求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a，b的关系．e2＝＝＝1－⇒＝ .
　　

1．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)

A.－1 B．2－
C. D.
解析：因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，所以可得∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.因为|F1F2|＝2c，所以可得|MF1|＝c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，可得离心率e＝＝＝－1.
答案：A

考点三　直线与椭圆的位置关系|

　已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的一个焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
[解]　(1)设F(c,0)，由题意kAF＝＝，
∴c＝，又∵离心率e＝＝，
∴a＝2，b＝＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为y＝kx－2，联立直线与椭圆方程，得
化简，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
∵Δ＝16(4k2－3)>0，∴k2>.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
∴|PQ|＝|x1－x2|＝·.
坐标原点O到直线l的距离d＝.
S△OPQ＝··
＝.
令t＝(t>0)，则S△OPQ＝＝.
∵t＋≥4，当且仅当t＝，t＝2时，等号成立，
∴S△OPQ≤1，
故当t＝2，即＝2，k＝±时，△OPQ的面积最大，
从而直线l的方程为y＝±x－2.

2．(邯郸质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，得＝，得b＝c.
因为＋＝1(a>b>0)，得c＝1，
所以a2＝2，所以椭圆C方程为＋y2＝1.
(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，由得(1＋2k2)x2＋4bkx＋2b2－2＝0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝.∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴－＋b2＝0，∴3b2＝2k2＋2.
此时Δ＝k2＋>0恒成立．
∵直线PQ与圆相切，∴r2＝＝，∴存在圆x2＋y2＝.
当直线PQ的斜率不存在时，也存在圆x2＋y2＝满足题意．
综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足题意．


　　26.几何法求解椭圆离心率范围问题
【典例】　(山西大学附中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.∪
[思维点拨]　利用对称性分|PF1|＝|F1F2|，|PF2|＝|F1F2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．
[解析]　6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P在第一象限，|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝|F1F2|＝2c时，|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c，即2c>2a－2c，解得e＝>.因为e<1，所以2c，且2c＋2c>2a－2c，解得 [答案]　D
[方法点评]　椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．
[跟踪练习]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：由＝，得＝.又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝，|PF1|＝.因为|PF2|是△PF1F2的一边，所以有2c－<<2c＋，即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0 答案：(－1,1)

A组　考点能力演练
1．点F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.－1
解析：由题意，可设椭圆的焦点F的坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点在椭圆上，代入得＋＝1，即e2＋＝4，得e2＝4－2，解得e＝－1，故选D.
答案：D
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
答案：D
3．(厦门模拟)椭圆E：＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值是8，则m的值等于(　　)
A．0 B．1
C. D．2
解析：设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B.
答案：B
4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是该椭圆上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　)
A．9 B．16
C．25 D.
解析：设P(x，y)，则||＝a－ex，||＝a＋ex，
∴||·||＝(a－ex)(a＋ex)＝a2－e2x2.
当x＝0时，||·||取最大值a2＝25.
答案：C
5．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设P(x，y)，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，由PF1⊥PF2，得·＝0，即(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋b2－c2＝＋b2－c2＝0，∴x2＝≥0，∴c2－b2≥0，∴2c2≥a2，∴e≥.又∵e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是.
答案：B
6．(黄山质检)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________.
解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c＝1，a＝3，e＝＝.
答案：
7．(泰安模拟)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．
解析：设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝20，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．(保定模拟)直线l过椭圆C：＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若△FMO是以线段OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为________．
解析：因为△FMO是以线段OF为底边的等腰三角形，所以直线OM与直线l的斜率互为相反数．设直线l的斜率为k，则有k·(－k)＝－，解得k＝±.
答案：±
9.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解：(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a,4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P在直线x＝－1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN.证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)因为点在椭圆C上，所以＋＝1.又椭圆C的离心率为，所以＝，即a＝2c，所以a2＝4，b＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(－1，y0)，y0∈，
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y－y0＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(3＋4k2)x2＋(8ky0＋8k2)x＋(4y＋8ky0＋4k2－12)＝0，
所以x1＋x2＝－.
因为P为MN中点，所以＝－1，
即－＝－2，
所以k＝(y0≠0)．
因为直线l⊥MN，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－y0＝－·(x＋1)，即y＝－，显然直线l恒过定点.
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝－1，
此时直线l为x轴，也过点.
综上所述，直线l恒过定点.
B组　高考题型专练
1．(高考福建卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a.所以8＝4a，解得a＝2.因为点M到直线l：3x－4y＝0的距离不小于，即≥，b≥1，所以b2≥1，所以a2－c2≥1,4－c2≥1，解得0 答案：A
2．(高考浙江卷)椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

解析：设左焦点为F1，由F关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，得|OQ|＝|OF|，又|OF1|＝|OF|，所以F1Q⊥QF，不妨设|QF1|＝ck，则|QF|＝bk，|F1F|＝ak，因此2c＝ak.又2a＝ck＋bk，由以上二式可得＝k＝，即＝，即a2＝c2＋bc，所以b＝c，e＝.
答案：
3．(高考陕西卷)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
4．(高考天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解：(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由|FM|＝＝，解得c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立得消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝>，解得－ 设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝，得m∈.
②当x∈(－1,0) 时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.