初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形第1课时随堂练习题

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13.3.1　第1课时　等腰三角形的性质命题点 1　等边对等角1.在△ABC中,AB=AC,若∠B=72°,则∠A的度数为 (　　)A.72°                  B.45°              C.36°                 D.30°2.如图,在△ABC中,点D为边AC上一点,且AB=DB=DC,∠C=40°,则∠ABD的度数是 (　　)A.20°               B.40°             C.60°                  D.80°         3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数为 (　　)A.20°               B.30°               C.40°                 D.50°4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC的度数为              (　　)A.110°                B.120°           C.130°           D.140°   若等腰三角形的一个角为42°,则它的顶角的度数为　　　　　　　.   若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为　　　　. 7.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠DAC=2∠D.   8.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且CD=AD,AB=BD,求∠BDA的度数.    命题点 2　等腰三角形“三线合一”的性质9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是 (　　)A.AD=BD                      B.BD=CDC.∠1=∠2                      D.∠B=∠C           10.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (　　)A.20°                        B.35°C.40°                        D.70°11.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,E是BA延长线上一点,F是AC上一点,连接EF并延长交BC于点G,且AE=AF.(1)判断EG与BC的位置关系,并说明理由;(2)若∠B=65°,求∠E的度数.    12.如图,在△ABC中,AB=BC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数;(2)若F是AC的中点,求证:∠CFD=∠ABC.  13.(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BA=CA,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,试求∠DAE的度数;(2)如图果把(1)中的条件“BA=CA”去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?请说明理由;(3)如图果把(1)中的条件“∠BAC=90°”改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE与∠BAC之间有什么数量关系?   
答案1.C　2.A　 ∵DB=DC,∠C=40°,∴∠DBC=∠C=40°.∴∠BDC=180°-40°×2=100°.∴∠BDA=80°.∵AB=DB,∴∠A=80°.∴∠ABD=180°-80°-80°=20°.故选A.3.B　 ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=70°.∵DE垂直平分AC,∴AD=CD.∴∠A=∠ACD=40°.∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°.故选B.4.A　 ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=×(180°-40°)=70°.∵∠1=∠2,∴∠ACB=∠1+∠PCB=∠2+∠PCB=70°.∴∠BPC=180°-(∠2+∠PCB)=110°.5.42°或96°　 该题分两种情况讨论:①42°的角为顶角时,顶角的度数是42°;②42°的角为底角时,顶角为180°-42°×2=96°.故答案为:42°或96°.6.25°或65°　 若这个三角形是锐角三角形,一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角是50°,因而底角是65°;若这个三角形是钝角三角形,如图图,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=40°,故∠BAD=50°.所以∠C=25°.因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.7.证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠C,∠D=∠DBC.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵AB=AD,∴∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠D+∠D=2∠D.∴∠DAC=∠C=∠ABC=2∠D.8.解:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA.∵CD=AD,∴∠C=∠CAD.∴∠CAD=∠B.∴∠BDA=∠C+∠CAD=2∠B.∴∠BAD=2∠B.∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°.∴∠B=36°.∴∠BDA=2∠B=72°.9.A10.B　 ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°.∴∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠ACB=35°.11.解:(1)EG⊥BC.理由:∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C.∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.∵AE=AF,∴∠E=∠AFE.∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE,∴∠E=∠BAD.∴AD∥EG.∴EG⊥BC.(2)∵∠B=∠C=65°,∴∠BAC=180°-65°-65°=50°.∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×50°=25°.∴∠E=∠BAD=25°.12.解:(1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=180°-∠AFD=25°.∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°.∴在Rt△FDC中,∠C=90°-25°=65°.∵AB=BC,∴∠A=∠C=65°.∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°.(2)证明:如图图,连接BF.∵AB=BC,F是AC的中点,∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=∠ABC.∴∠CFD+∠BFD=90°.∵DF⊥BC,∴∠CBF+∠BFD=90°.∴∠CFD=∠CBF.∴∠CFD=∠ABC.13.解:(1)∵BA=CA,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°.∵BD=BA,∴∠BAD=∠BDA=67.5°.∵CE=CA,∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°.∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°.(2)不会改变.理由:设∠CAE=m.∵CA=CE,∴∠E=∠CAE=m.∴∠ACB=∠CAE+∠E=2m.∵在△ABC中,∠BAC=90°,∴∠B=90°-∠ACB=90°-2m.∵BD=BA,∴∠BAD=∠BDA=(180°-∠B)=m+45°.∴∠DAE=∠BDA-∠E=m+45°-m=45°.(3)设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠E=∠CAE=x,∠BDA=∠BAD=y.∴∠DAE=∠BDA-∠E=y-x.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAE-∠CAE=2y-2x,∴∠DAE=∠BAC.