人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时一课一练

13.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定

命题点 1　等边三角形的性质

1.如图,等边三角形ABC的边长为2,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且∠E=30°,则CE的长为              (　　)

A.3                 B.2             C.1                D.0.5

2.三个等边三角形的摆放位置如图图所示,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 (　　)

A.90°           B.120°            C.270°           D.360°

3.如图,△ABC是等边三角形,BC=BD,∠BAD=20°,则∠BCD的度数为　　　　. 

4.如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上一点,以AD为边作等腰三角形ADE,使AD=AE,∠DAE=80°,DE交AC于点F,∠BAD=15°,求∠FDC的度数.

命题点 2　等边三角形的判定

5.下列三角形:①三个角都等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是              (　　)

A.①②③                         B.①②④

C.①③④                         D.①②③④

6.[2020·大石桥期中] 已知∠AOB=30°且∠AOB内有一点P,点P关于OA,OB的对称点分别为E,F,则△EOF一定是　　　　三角形. 

7.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:△DEF是等边三角形.

命题点 3　等边三角形的性质与判定

8.如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,点M,N同时停止运动.

(1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合?

(2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形?

9.如图图所示,某轮船上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向,该船以每小时10海里的速度向东航行到C处,再观测海岛B在北偏东30°方向,又以同样的速度继续向东航行到D处,再观测海岛B在北偏西30°方向,当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里,请你确定轮船到达C处和D处的时间.

10.在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.

(1)【特殊情况,探索结论】

如图①,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”); 

(2)【特例启发,解答题目】

如图②,当E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”). 

理由如图下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成剩下的解答过程);

(3)【拓展结论,设计新题】

在等边三角形ABC中,点E在AB的延长线上,点D在CB边的延长线上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请画出相应图形).

答案

1.C　 ∵等边三角形ABC的边长为2,BD平分∠ABC,∴∠ACB=60°,CD=AD=1.

∵∠E=30°,

∴∠EDC=∠ACB-∠E=60°-30°=30°=∠E.

∴CE=CD=1.故选C.

2.B　 ∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,

∴∠ABC=60°,∠ACB=120°-∠2,∠BAC=120°-∠1.

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,

∴60°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°.∴∠1+∠2=120°.

3.50°　 ∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=60°,AB=BC.

∵BC=BD,∴AB=BD.

∴∠BAD=∠BDA=20°.

∴∠ABD=180°-20°-20°=140°.

∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=140°-60°=80°.

∵BC=BD,

∴∠BCD=∠BDC=×(180°-80°)=50°.

故∠BCD的度数为50°.

4.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.

∵∠DAE=80°,AD=AE,

∴∠ADE=×(180°-80°)=50°.

∵∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°,

∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=75°-50°=25°.

5.D

6.等边　 如图图.连接OP,OE,OF,EF.

∵点P关于OA的对称点为E,

∴OA是PE的垂直平分线.

∴OP=OE.

同理OF=OP,

∴OE=OF.

∴△EOF是等腰三角形.

易得∠FOB=∠BOP,∠EOA=∠AOP.

∵∠AOB=30°,

∴∠EOF=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=60°.

∴△EOF是等边三角形.

7.证明:∵∠BAC=120°,AB=AC,

∴∠B=∠C=30°.

又∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠BED=∠CFD=90°.

∴∠BDE=∠CDF=60°.

∴∠EDF=60°.

∵D是BC的中点,∴BD=CD.

在△BDE和△CDF中,

∴△BDE≌△CDF(ASA).

∴DE=DF.

又∵∠EDF=60°,∴△DEF是等边三角形.

8.解:(1)设点M,N运动x s后,M,N两点恰好重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12.

∴点M,N运动12 s后,M,N两点恰好重合.

(2)设点M,N运动t s后,△AMN是等边三角形,如图图.由题意,得AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm.∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4.

∴点M,N运动4 s后,△AMN是等边三角形.

9.解:∵在A处观测海岛B在北偏东60°方向,

∴∠BAC=90°-60°=30°.

∵从C处观测海岛B在北偏东30°方向,

∴∠BCD=90°-30°=60°.

∵∠BCD=∠BAC+∠CBA,

∴∠CBA=30°=∠BAC.∴AC=BC.

∵从D处观测海岛B在北偏西30°方向,∴∠BDC=90°-30°=60°.

又∵∠BCD=60°,∴∠CBD=60°.

∴△BCD为等边三角形.∴BC=CD.

∵BC=20海里,∴BC=AC=CD=20海里.

∵该船以每小时10海里的速度从A处航行到C处,又以同样的速度继续航行到D处,

∴该船从A处到达C处所用的时间为20÷10=2(时),从C处到达D处所用的时间为20÷10=2(时).

∵该船上午11时30分从A处出发,

∴该船到达C处的时间为11时30分+2时=13时30分,到达D处的时间为13时30分+2时=15时30分.

10.解:(1)=

(2)=

理由如图下:过点E作EF∥BC,交AC于点F.

∵△ABC为等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.

∵EF∥BC,

∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECD.

∴△AEF为等边三角形,∠DBE=∠EFC=120°.∴AE=EF.

∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.

∴∠BDE=∠FEC.

在△DBE和△EFC中,

∴△DBE≌△EFC.

∴DB=EF.∴AE=DB.

(3)如图图,过点E作EF∥BC交AC的延长线于点F.∵△ABC为等边三角形,

∴AB=AC=BC=1,∠A=∠ABC=∠ACB=60°.

∵EF∥BC,

∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠DCE=∠CEF.

∴△AEF为等边三角形.∴EF=AE=2.

∵ED=EC,∴∠DCE=∠CDE.

∴∠CEF=∠CDE.

又∵∠DBE=∠ABC=60°=∠F,

∴△DBE≌△EFC.

∴DB=EF=2.∴CD=BC+DB=3.