2023南通海安立发中学高二上学期9月检测数学试题word含解析

立发中学2022~2023学年度第一学期月检测试卷

高二数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据斜率和倾斜角的关系即 得到答案.

【详解】由直线的倾斜角与斜率的关系得，

所以直线 的斜率为 ；

故选：B.

2. 如果且，那么直线不经过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】通过直线经过的点来判断象限.

【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；

令，得；令，得；

所以直线不经过第三象限.

故选：C.

3. 已知，，若，则实数（    ）

A. 0或1 B.  C. 1 D. 0或

【答案】C

【解析】

【分析】用两直线垂直的充要条件得解.

【详解】因为，所以，或，

又当时，不存在故舍，所以.

故选：C.

4. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.

【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为，

由题意可得，解得，即点，

直线上取点，由对称性可得，

所以，，

当且仅当、、三点共线时，等号成立，

因此，“将军饮马“的最短总路程为.

故选：C.

【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.

5. 当点到直线的距离最大时，的值为（    ）

A.  B. 0

C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】由于直线过定点Q(2，1)，所以当PQ垂直该直线时，点到直线的距离最大，从而可列方程可求得答案

【详解】直线过定点Q(2，1)，

所以点到直线的距离最大时，PQ垂直该直线，

即，

故选：C．

6. 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ）．

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.

【详解】点在圆外，，

圆心到直线距离，

直线与圆相交.

故选B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7. 已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（    ）

A.  B. 或 C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.

【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，

当椭圆焦点在轴上，，所以，

当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.

故选：B.

8. 已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.

【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，

设中点为，，

由垂径定理得，

在圆上，

又 ，

由图可知，

，

的范围为.

故选：C

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B. 直线与直线的距离为1

C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，当直线与轴垂直时没有斜率；对于B，两平行线之间的距离公式可以判断；对于C，直线与两坐标轴交点为，，由此能判断；对于D，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，．

【详解】对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当直线与轴垂直时没有斜率，故A正确；

对于B，直线与直线的距离为，故B错误；

对于C，直线与两坐标轴交点为，，

直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确；

对于D，当直线在轴上截距时，直线在轴上截距，

此时直线过点，，直线方程为，即，

当直线在轴上截距时，直线在轴上截距，

设直线方程为，把代入得，解得，

直线方程为，即，

经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误．

故选：AC．

10. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】分析可知直线平行且与该直线间距离为的直线的方程为、，由题意可知，直线、与圆均相交，可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】设与直线平行且与该直线间距离为的直线的方程为，

则，解得或，

所以，直线、均与圆相交，

而圆心为原点，圆的半径长为，所以，，解得，

故选：CD.

11. 已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（    ）

A. 当时，曲线表示椭圆

B. 当或时，曲线表示双曲线

C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则

D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误；

【详解】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；

若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；

若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；

若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；

故选：BCD

12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ）

A. 圆的方程是

B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为

C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为

D. 过直线上的一点向圆引切线，则四边形的面积的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，设点坐标，根据代入化简，可得A正确；

对于B，设切线夹角为，可得，解得B正确；

对于C，若圆上恰有三个点到直线的距离为，可判断直线与圆相切，进而可解得，故C错误；

对于D，由条件可表达四边形的面积为，求的最小值，计算可得D正确.

【详解】对于A，因为，点满足，设，则，

化简得，，即，故A正确；

对于B，因为，设两条切线的夹角为，所以，解得，则，故B正确；

对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为，即，

因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离，解得，故C错误；

对于D，由题意可得，故只需求的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形的面积的最小值为，故D正确.

故选：ABD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设点，若直线与线段有交点，则a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】数形结合，根据直线过定点，再分析直线与线段有交点时斜率的最大最小值求解即可.

【详解】直线，即过定点，且斜率为，又，，故若直线与线段有交点，则a的取值范围是.

故答案为：

14. 设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即求可得的最大值.

【详解】因为过过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，

也即直线与圆相离或相切，

则，即，解得，

故的最大值为.

故答案为：.

15. 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

【答案】

【解析】

【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】方法一：（三点共圆）

∵点M在直线上，

∴设点M为，又因为点和均在上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴，

，解得，

∴，，

的方程为.

故答案为：

方法二：（圆几何性质）

由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.

故答案为：

16. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据圆的性质，结合椭圆离心率公式进行求解即可.

【详解】由题意可知：圆的方程为，设两切点为，由圆的性质和题意可知：

，且，因此是直角三角形，

故，

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知直线过定点.

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据两直线垂直，设直线的方程，代入点的坐标，求出参数的值即可；

（2）分直线经过原点和直线不经过原点两种情况讨论，当直线不经过原点设直线的方程为，代入点的坐标，求出参数的值即可；

【小问1详解】

解：直线与直线垂直，设直线的方程，

将定点代入可得，解得，

故直线的方程为；

【小问2详解】

解：①当直线经过原点时，可得直线的方程为：，即，

②当直线不经过原点时，可设直线的方程为，

把点代入可得，解得，可得直线的方程为，

综上所述：所求的直线的方程为：或.

18. 求适合下列条件双曲线的标准方程：

（1），，且焦点在轴上；

（2）焦点为和，且经过点.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，分析可得要求双曲线中，，结合双曲线的焦点位置，即可得双曲线的标准方程；

（2）设双曲线方程为，根据题意布列方程组可得结果.

【小问1详解】

根据题意可知，，，

又焦点在轴上，

∴双曲线的标准方程为：；

【小问2详解】

焦点为和，则焦点在轴上，且；

设双曲线方程为，又双曲线过点

∴ ，

设，可得 ，

解得或（舍去）

∴

则双曲线的标准方程为：．

19. 已知点，直线及圆.

（1）求过点的圆的切线方程；

（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值.

【答案】（1）或； （2）.

【解析】

【分析】

（1）由于在圆外，故先讨论当直线斜率不存在时得，再讨论直线的斜率存在时，根据圆心到直线的距离为半径解方程即可得答案；

（2）由题意得圆心到直线的距离，再结合半弦长，半径与围成的直角三角形求解即可得答案.

【详解】（1）∵ ，∴圆外，           

当过点M的直线斜率不存在时，易知直线与圆相切．      

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ，   

∵直线与圆相切，∴解之得，        

∴切线方程为，即               

∴所求的切线方程为或.                  

（2）由题意得圆心到直线的距离

又弦长，圆的半径 ，   

∴由，解得.

【点睛】方法点睛：一般地，直线与圆相交的弦长的求解通过圆心到直线的距离，半弦长，半径围成的直角三角形利用勾股定理求解.

20. 已知椭圆，以及椭圆内一点.

（1）求以点M为中点的弦所在直线的方程；

（2）若P是椭圆C上的点，为左右焦点，，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设弦的两个端点为，再根据点差法求解即可；

（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理与三角形的面积公式求解即可.

【小问1详解】

设弦的两个端点为，由题知斜率存在

所以，

由①-②得，，

即，

因为为线段的中点，

所以，所以，

所以：，

即；

【小问2详解】

由题意，，且，故，又由余弦定理，故，解得，故的面积

21. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

【答案】(1) 圆：. (2)证明见解析；，.

【解析】

【分析】（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利用，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程，根据方程过的定点与无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.

【详解】解：（1）设圆心，

则圆心到直线的距离.

因为圆被直线截得的弦长为

∴

解得或（舍），∴圆：.

（2）已知，设，

∵为切线，∴，∴过，，三点的圆是以为直径的圆.

设圆上任一点为，则.

∵，，∴

即.

若过定点，即定点与无关

令

解得或，所以定点为，.

【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.

22. 已知椭圆的焦点在x轴上，离心率，焦距为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x，y轴分别交于M，N两点，且，求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意，求出 ，再求出 ，即可算出椭圆方程；

（2）运用椭圆的中点弦公式和点差法即可求解.

【小问1详解】

由题意，  ， ，

椭圆方程为： ；

【小问2详解】

令的中点为E，因为，所以，

设，则，

所以，即

所以，即，

设直线 ，

令得，令得 ，即 ，所以 ，

即 ，解得 或 （舍去），

又，即，解得或（舍去），

所以直线，即；