初中数学苏科版八年级上册3.3 勾股定理的简单应用同步练习题

勾股定理的简单应用

一、单选题

1．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（  ）

A．5尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺

3．如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为（     ）cm

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（　　）

A．10 B．14 C． D．

5．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）

A．30 B．28 C．25 D．22

6．如图，校园内有两棵树，相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（　　）

A．9m B．10m C．11m D．12m

7．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（    ）．

A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对

8．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ）

A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°

9．如图，牧童在处放牛，牧童家在处，、处距河岸的距离、的长分别为500m和700m，且，两点的距离为500m，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ）

A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m

10．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A． B． C． D．

11．如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，工人师傅测得，，则，两点间的距离为（    ）．

A． B． C． D．

12．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（    ）．

A． B．

C． D．

二、填空题

13．在高出海平面100米的山崖上观测到海平面上一艘小船的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离为____m．

14．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是________米．

15．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要______元．

16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．

17．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形，，的面积分别是，，，则正方形的面积是___________．

三、解答题

18．一个13m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离12m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？为什么？

19．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去觅食，那么它爬行的最短路程是多少？

20．为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路的一侧点处，小明家到公路的距离为米，假使广播车周围米以内能听到广播宣传，广播车以米/分的速度在公路上沿方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．

21．如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．

22．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．

（1）判断△BCH的形状，并说明理由；

（2）求原路线AC的长．

参考答案

1．A

解：根据题意，画出图形，BC=5m，如下图：

设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，

在 中，由勾股定理得： ，即

，

解得： ，

即旗杆的高为12m．

故选：A．

2．B

解：如图：由题意可知AB＝5尺，设AC长为x尺，则BC长为（25−x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＋AB2＝BC2，
则x2＋52＝（25−x）2，
解得：x＝12，即AC＝12尺，

故选：B．

3．B

解：如图：

玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，

∵CD＝6，AD＝8，
∴BD＝cm，
露出杯口外的长度为＝12−10＝2cm，
故选：B．

4．A

解：把长方体展开有两种情况：

当蜘蛛从A 出发到EF上再到G时，如下图所示

，

，

，

在中，；

当蜘蛛从A 出发到BF上再到G时，如下图所示

，，

，

，

，

在中，，

．

故选：A．

5．C

解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，

∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，

∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，

∴CF=2BC=15cm，

在Rt△CDF中，DF=cm，

故他滑行的最短距离约为cm．

故选C．

6．B

解：两棵树高度相差为AE=13-7=6m，之间的距离为BD=CE=8m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=m，即小鸟至少要飞10m．

故选B

7．A

解：由勾股定理可得，树倒下的水平距离长为米，小于9米

大树倒下时一定不会砸到张大爷的房子；

故选A

8．C

解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km，

∵802＋602＝1002，

∴OA2＋OB2＝AB2，

∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°

∵∠NOA＝30°，

∴∠SOB＝60°

∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，

故选：C．

9．C

解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F．

则EF=BD+AC=500+700=1200m，BF=CD=500m．
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE==1300（m）．
故选：C．

10．A

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．

∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，

∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，

∴AC2＝22+22＝4+4＝8，

∴AC＝2dm，

∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．

故选：A．

11．A

解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=AB，
∵AC=3km，BC=4km，∠ACB=90°，

∴AB=5km，
∴CM=2.5（km），
即M，C两点间的距离为2.5km，
故选：A．

12．A

解：如图，过点作于点，

，

四边形是矩形，

，，

设旗杆的高度AB长为x，则，，

在中，

，

即．

故选A．

13．

解：如图，设观测者位于点，船位于点，于点，

∵在高出海平面100米的山崖上观测到海平面上一艘小船的俯角为30°，则

∴船与观测者之间的水平距离米．

故答案为：100米．

14．

解：设这棵红叶树离地面的高度是x米，由题意得：

，

解得：．

故答案为：

15．280

解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m，

水平直角边是m，

购买这种地毯的长是3m+4m=7m，

楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元

价格是7×2×20=280元．

故答案为280．

16．

解：在Rt△ABC    中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得：

(m)

即A、B两点间的距离为m．

故答案为：．

17．17

解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，

∴正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积，

∵，，

∴正方形A、B、C、D的面积和，

即，

解得：．

故答案为：17．

18．不是，原因见解析

解：由题意可得：，，，

∴

由勾股定理得：，

梯子底端B向外移动的距离不是4m

19．100cm

解：如图所示，

AB=（cm）．

答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是100cm．

20．小明能听到广播宣传，他总共能听到分钟的广播宣传．

解：小明能听到广播宣传，

理由：因为村庄到公路的距离米米，

所以小明能听到广播宣传．

如图，假设当宣讲车行驶到点开始小明能听到广播，行驶到点之后小明听不到广播，

则米，米，

所以（米），

所以米，

所以小明听到广播的时间为：（分钟），

所以他总共能听到分钟的广播宣传．

21．能通过，见解析

解：∵车宽1.6米，

∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．

在Rt△OEF中，由勾股定理可得：

（m），

EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，

∴卡车能通过此门．

22．（1）直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．

解：（1）△HBC是直角三角形，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2=42+32=25，

BC2=25，

∴CH2+BH2=BC2，

∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；

（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，

在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，

∴x2=（x-3）2+42，

解这个方程，得x=，

答：原来的路线AC的长为千米．