长郡中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题及参考答案

长郡中学2023届高三月考试卷（二）

数学

一、选择题

1. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若（为虚数单位）是纯虚数，则（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

3. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

4. 命题：“”为假命题，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 当时，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A  B.

C  D.

7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（    ）

（注：）

A. 1624 B. 1198 C. 1024 D. 1560

8. 已知函数，、．、且满足，，对任意的恒有，则当、取不同的值时，（    ）

A. 与均为定值 B. 与均为定值

C. 与均为定值 D. 与均为定值

二、选择题

9. 已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数 B. 函数图象关于点对称

C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是

10. 正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（    ）

A.  B. 四棱锥外接球的表面积为

C. 与底面所成角为 D. 当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1

11. 已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（    ）

A. n为偶数时， B.

C.  D. 的最大值为20

12. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）

A.  B. 函数的图象关于对称

C.  D.

三、填空题

13. 若，则的最小值为________．

14. 已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，则的最小值为______.

15. 已知等差数列和正项等比数列满足，则数列的前项和为______.

16. 已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为______.

四、解答题

17. 已知数列中，为的前项和，，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：.

18. 如图，在梯形中，，，，．

(1)若，求梯形的面积；

(2)若，求．

19. 如图，在三棱柱中点，在棱上，点F在棱CC1上，且点均不是棱的端点，平面且四边形与四边形的面积相等.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.

20. 统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;

（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.

（ⅰ）请从分层抽样角度估计池塘乙中的鱼数.

（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

21. 已知椭圆C：的四个顶点构成的四边形的面积为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若矩形MNPQ满足各边均与椭圆C相切.求证：矩形MNPQ对角线长为定值.

22. 已知函数.

（1）讨论极值点的个数；

（2）若有两个极值点，且，证明: