第一章 集合与常用逻辑用语 单元优化测试卷— 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语 单元优化测试卷一、单选题1．设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．3．已知全集，则（    ）A． B． C． D．4．已知集合，，那么集合等于（    ）A． B．C． D．5．集合，，那么（    ）A． B． C． D．6．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设全集为，集合，，则（    ）A． B． C． D．8．已知，则下面选项中一定成立的是（    ）A． B．C． D． 二、多选题9．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合10．设全集，集合，，则（    ）A． B．C． D．集合的真子集个数为811．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（    ）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（    ）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素  三、填空题13．若一个整数是4的倍数或这个整数中含有数字4，我们则称这个数是“含4数”，例如20、34，将[0，50]中所有“含4数”取出组成一个集合，则这个集合中的所有元素之和为___________.14．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________15．已知集合A=，若，则实数的值是____________.16．已知方程的解集为，且，则______. 四、解答题17．已知集合或，集合或，若 “”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，求实数的取值范围．   18．设集合，，若，求实数a的取值范围.     19．已知集合，．若且⫋ ，试求实数的值．     20．设全集，集合，.（1）求及；（2）求.      21．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.        22．设集合，，.（1）讨论集合与的关系；（2）若，且，求实数的值.       参考答案1．C【解析】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.故选：C2．A【解析】因为集合，，则，故选：A.3．A【解析】如图：由交、并、补的定义可知：.故选：A.4．C【解析】因为，又，所以.故选：C.5．A【解析】因为，，所以，故选：A.6．B【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选：B7．B【解析】因为集合，则，而，所以.故选：B.8．B【解析】解：，，当时，，错误；，，，正确；，所以，错误；，时，，错误．故选：．9．ABD【解析】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．故选：ABD．10．AC【解析】因为全集，集合，，所以，，，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，故选：AC11．ABD【解析】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．12．ABD【解析】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.故选：ABD．13．673【解析】解：[0，50]中所有“含4数”有0，4，8，12，14，16， 20， 24，28，32，34，36，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，所以所有元素之和为4+8+12+14+...+40+41+44...+49 =673.故答案为：673.14．【解析】解：，，由，，当时，满足，此时，；当时，，则，解得．综上，．15．【解析】由题可知：集合，所以或，则或当时，，不符合集合元素的互异性，当时，，符合题意所以故答案为：16．-4【解析】方程的解集为，所以，且，解得 = =3，解得，故答案为：-417．【解析】因为“”是“”的必要条件，且“”不是“”的充分条件，所以是的真子集，∴或，解得，所以实数的取值范围是.18．或【解析】由题意知，所以，因为，所以分以下三种情况：（1）当时，，可得和是方程的两个根，由根与系数的关系，得，解得；（2）当集合为单元素集合时，即或}，则，解得，此时满足题意；（3）当时，则，解得，综上所述，所求实数a的取值范围是或19．或【解析】解：，且⫋ ，或当时，，解得当时，，解得综上所述，或20．（1），；（2）.【解析】解：（1）因为，，所以，（2）因为，所以，所以.21．（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）.【解析】（1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．∴x∈A，，，，，，∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴，∵，∴2∈A，∴，∴∈A，设m＝a，同理得∈A，∈A，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，∴、3、，∴．22．（1）当时，；当时，是的真子集；（2）或.【解析】（1），当时，；当时，是的真子集.（2）当时，因为，所以.当时，解得(舍去)或，此时，符合题意.当时，解得，此时符合题意.综上，或.