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    第四章 指数函数与对数函数 培优卷 - 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

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    第四章 指数函数与对数函数 培优卷 - 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

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    这是一份第四章 指数函数与对数函数 培优卷 - 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册,共19页。
    第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意。1.已知函数,设为实数,若存在实数,使,则实数的取值范围为(    A BC D2.已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围是(    A BC D3.设函数有四个实数根,且,则的取值范围是(    A B C D4,若存在互不相等的实数使得,则下列结论中正确的为(    ,其中为自然对数的底数;函数恰有三个零点.A①② B①③ C②③ D①②③5.若不等式恒成立,则实数的范围是(    A B C D.6.已知,设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解,则实数的取值范围是(    A BC D7.已知函数,若互不相等,且,则的取值范围是(    A B C D8.已知函数,若函数有三个不同的零点,则的取值范围是(    A B C D 二、多选题。本大题共4小题,每小题5分,共20分,每小题有两项或以上符合题意。9.已知函数,若,则(    A BC D10.已知函数,若,则(    ABCD11.已知互不相等的三个实数abc都大于1,且满足,则abc的大小关系可能是(    A B C D12.已知函数,则(    A.对任意的,函数都有零点.B.当时,对,都有成立.C.当时,方程4个不同的实数根.D.当时,方程2个不同的实数根. 三、填空题。本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知关于的方程有解,则实数的取值范围是___________14.已知函数对任意两个不相等的实数,都满足不等式,则实数的取值范围是________.15.设函数,若存在实数,使上的值域为,则实数的取值范围是___________.16.已知函数,若对任意的,都存在唯一的,满足,则实数的取值范围是______ 四、解答题。本大题共6小题,共70分,解答过程必修有必要的文字说明,公式和解题过程。171.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果,准备利用小白鼠进行科学试验.研究发现,药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药,则在注射后的4小时内,药物在白鼠血液内的浓度(单位:毫克/升)与时间t(单位:小时)满足关系式a为常数);若使用口服方式给药,则药物在白鼠血液内的浓度(单位:毫克/升)与时间t(单位:小时)满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物,且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.假设同时使用两种方式给药后,小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.1)若,求4小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值;2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升,求正数a的取值范围. 18.设非空实数集中存在最大元素和最小元素,记.1)已知,且,求实数.2)设,是否存在实数,使得?若存在,求出所有满足条件的实数,若不存在说明理由.3)设,函数在区间上值域记为,若对任意,函数都满足,求的取值范围.     19.对于定义在D上的函数,若对任意,不等式对一切恒成立,则称函数A控制函数1)当,判断是否是A控制函数"2)当,若函数A控制函数,求正数m的取值范围;3)当D为整数集,若函数A控制函数且均为常值函数,求所有符合条件的t的值.    20.已知函数1)在内,求函数的值域;2)不等式时恒成立,求实数的取值范围;3)若方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围. 21.已知二次函数满足对任意,都有的图象与轴的两个交点之间的距离为.1)求的解析式;2)记i)若为单调函数,求的取值范围;ii)记的最小值为,若方程有两个不等的根,求的取值范围.        22.如果函数满足在集合上的值域仍是集合,则把函数称为函数.例如:就是函数.1)下列函数:中,哪些是函数(只需写出判断结果)?2)判断函数是否为函数,并证明你的结论.3)证明:对于任意实数ab,函数都不是函数.(注:表示不超过x的最大整数)               参考答案1C【解析】时,的值域为时,的值域为所以的值域记为若存在实数,使,即,即,解得的取值范围为故答案为:C2B【解析】,所以为奇函数,不等式,等价于,即,因为为奇函数,所以,因为均为减函数,根据单调性的性质可知,为减函数,则,解得: 故选:B3A【解析】由分段函数知:且递减;且递增;时,且递减;时,且递增;的图象如下:有四个实数根由图知:有四个实数根,且,又由对数函数的性质:,可得,且上单增,可知所以故选:A4D【解析】解:函数的图像如图:即直线与函数图像有4个交点,故正确;不妨设则必有,则,且,由对勾函数的性质可得函数上单调递增,正确;函数的零点个数,即为函数的图像交点个数,如图时,函数的图像有3个交点,时,研究是否相切即可,,令,则,则切点为,此时切线方程为,即所以图像相切,此时函数的图像有3个交点,因为,故函数的图像恒有3个交点,即函数恰有三个零点,正确.故选:D.5D【解析】题设不等式化为,即易知是减函数,时,所以由不等式上恒成立得.故选:D.6D【解析】解:当时,令,则因为为增函数,所以当该方程在时无实数根时,,解得时,时,有一个解,所以时,有一个解,即二次函数时有1个解,且设为,则而对称轴为由于,所以,即在对称轴左侧,且二次函数开口向上,所以当时,函数是递减的,所以当时,,解得:又因为,所以当时有一个解,所以成立;时,时无解,时有两个解,所以时成立;时,时无解,时,所以方程要在时有两个解,所以,解得因为,所以设方程的两个解分别为,则所以当时,,所以,所以综上得:即实数的取值范围是.故选:D.7C【解析】图象知:上是减函数,在上是增函数,且.互不相等,且不妨设,则,得,即,又,得,令由对勾函数的单调性可知:上单调递增,故选:.8A【解析】由题设,当,当且仅当时等号成立,故,且上递增,上递减,单调递增,且综上可得,如下函数图象:要使有三个不同的零点,则由图知:,当时令,则,有,而上递减,.故选:A9AC【解析】A选项:成立,A选项正确;B选项:B选项错误;C选项:由,故上单调递增,假设,则,故,即C选项正确;D选项:,又,由基本不等式可知,且当,当,故当时,原式,即成立,当时,原式,即,故D选项错误;故选:AC.10AC【解析】解:对选项A:因为,所以,故选项A正确;对选项B:因为,所以,故选项B错误;对选项C:由题意,因为,所以R上单调递增,不妨设,则,所以,即,故选项C正确;对选项D:因为,且,所以由凹凸性有,所以由凹凸性有所以有,故选项D错误;故选:AC.11AB【解析】由已知,则关于x的方程有正实根,所以因为,则,所以则二次函数的关于直线对称,且的一个较小零点,则,即的一个较大零点,则,即.故选:AB12AC【解析】时,;当时,所以当时,函数只有个零点,当时,函数只有个零点,时,函数只有个零点,故A正确;时,由指数函数与二次函数的单调性知,函数为单调递增函数,故B错;时,令,由,作出函数的图象如图所示,当时,方程有两个解;方程有两个解;所以方程4个不同的实数根,故C正确;时,方程,则,如图所示,有1个不同的交点,则故D错误.故选:AC13【解析】解:由题知,有解时,即化简得有解整理得:无解时,即化简得解得解得:或者时,即化简得:有解化简得:无解综上,实数的取值范围为:故答案为:.14【解析】由不等式可知,上单调递增,又因为上单调递减,上单调递减,且上恒成立,所以,解得故答案为:15【解析】由题设,为增函数且定义域为,要使上的值域为,易知:上有两个交点,即上有两个根且恒成立即对于,有,可得综上,.故答案为:16【解析】解:设函数的值域为,函数的值域为因为对任意的,都存在唯一的,满足,且中若有元素与中元素对应,则只有一个.时,因为,当且仅当,即时,等号成立,所以时,时,,此时,解得时,此时上是减函数,取值范围是上是增函数,取值范围是,解得综合得.故答案为:171)当时血液中药物的浓度最高,最大值为62181.2)存在,.3.191是,不是231,3,520123解:,由对勾函数的单调性可知,在上,单调递减,在上,单调递增.最小值为0最大值为,则函数的值域为2解:设,不等式可化为:问题等价于时恒成立;即:时恒成立,而此时,则的最小值为0,所以.3解:令,作出函数的图象,如图,由图象知时,有两解,时,有一解. 方程有三个不同的实数解关于的方程有两个不等的根,其中一个根大于或等于1,另一根大于0且小于1                                          可化为:化简得:                                      若方程有一根为1,则,此时方程为,方程有两个相等实根1,不合题意,因此它的两根分别介于,只要21.(1;(2)(i;(ii.【解析】1)设由题意知:对称轴,又,则的两根为,则由已知:,解得.2)(i,其对称轴为为单调函数,,解得.的取值范围是.ii,对称轴.,即时,在区间单调递增,.,即时,在区间单调递减,,即时,函数零点即为方程的根,即,作出的简图如图所示时,,解得,有个零点;时,有唯一解,解得,有个零点;时,有两个不同解,解得,有4个零点;时,,解得,有个零点;时,无解,无零点综上:当时,有个零点.22.(1)只有函数;(2)函数函数;证明见解析 ;(3) 证明见解析.【解析】1)解:只有函数2)解:函数函数.证明如下:显然,不妨设,由,可得,即因为,恒有成立,所以一定存在,满足,所以设,总存在,满足所以函数函数.3)证明:当时,有所以函数都不是函数.时,,有,所以函数都不是函数.,得,所以,都有所以函数都不是函数.,令,则所以一定存在正整数k,使得,所以使得,所以又因为当时,,所以时,,所以所以,都有所以函数都不是函数.综上所述,对于任意实数ab,函数都不是函数.
     

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