第五章 三角函数 必刷卷 -2学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
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第五章 三角函数 尖子生必刷卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．2．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号为（ ）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④3．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）A． B． C． D．5．已知，，且，，则（ ）A． B． C． D．6．若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ）A． B． C． D．7．已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（ ）A． B． C． D．8．已知，若在区间上单调时，的取值集合为，对不等式恒成立时，的取值集合为，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．在区间上单调减D．的图象向右平移个单位得的图象10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）A．的最小正周期为12 B．C．的最大值为 D．在区间上单调递增11．已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ）A．存在，使得是偶函数 B．C．是奇数 D．的最大值为312．已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合．其中是“互垂点集”集合的为（ ）A． B． C． D．三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是__________．14．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_____．15．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_______.16．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则______. 四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．已知函数，．(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围． 18．已知函数．（1）当时，求函数的最大值与最小值；（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数． 19．已知函数在内取得一个最大值和一个最小值,且当时,有最大值3,当时,有最小值
(1)求函数的解析式;
(2)是否存在实数m满足若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由． 20．函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，.（1）求函数的解析式.（2）求函数的单调递增区间.（3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值）；若不存在，请说明理由. 21．设函数为偶函数.（1） 求的值；（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值. 22．已知函数.（1）证明函数在上为减函数；（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围. 参考答案1．A【解析】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．，，当，则，求得；当，，方程在区间上有1个根，不满足题意；当，，求得；当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，，当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意．综上，可得，故选：A．2．A【解析】对于①中，函数的定义域为关于原点对称，由，所以是奇函数，所以①正确.对于②中，假设存在周期，则，，所以 ①，存在，使得，而，，，由于，故，所以所以，，可得，，，所以，矛盾，所以函数，没有周期，所以②错误.对于③中，函数，函数的零点为方程，可得或，即，所以在区间上有三个零点，故③正确.对于④中，函数，若，则，，若，则，，所以，和，两者不会同时成立，即和不可能同时成立，故的最大值不是，所以④错误；则四个命题中正确的为①③；故选：A.3．D【解析】令，解得，，而函数在区间上单调递增，所以，解得，当时，，因为在区间上有且仅有一个解，所以，解得.综上所述，的取值范围是.故选：D.4．A【解析】由，可得，，因为，得，即，又由（定值），即，即恒成立，可得，解得，.故选：A．5．A【解析】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.6．D【解析】由，则，当或时，即或时，，当时，即时，，所以当或时，，当时，，设函数，则在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故选：D.7．C【解析】函数的图象关于点及直线对称.则.在不存在最值，则，故时满足条件，，.，则.当时满足条件，故.故选：.8．A【解析】，可知函数周期，由题可知函数在区间上单调，故该区间长度需小于等于半个周期，及，∴，对于不等式，；设，，；∴不等式等价于恒成立，及，对于，，∴，及集合，∴，“”是“”的充分非必要条件，故选：A9．CD【解析】由图知：且，则，∴，可得，又过，∴，得，又，∴当时，.综上，.A：代入得：，故错误；B：代入得：，故错误；C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；D：，故正确；故选：CD10．ACD【解析】由题意可得：，，，，，，，，，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确. 时，，可得：函数在单调递增.综上可得：ACD正确.故选：ACD11．BCD【解析】，，则，，故，，，，则，故，，，当时，，，在区间上单调，故，故，即，，故，故，综上所述：或，故CD正确；或，故或，，不可能为偶函数，A错误；当时，，，故；当时，，，故，综上所述：，B正确；故选：BCD.12．BD【解析】由题意，对于，，，，使得成立即对于任意点，，在中存在另一个点，使得．中，当点坐标为时，不存在对应的点．所以所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，，在中存在另一个点，使得．所以是“互垂点集”集合，中，当点坐标为时，不存在对应的点．所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：BD．13．【解析】解：，其中，因为函数对任意，都有，所以的最大值为，所以，即，，所以，所以，因为，所以，若在，上的值域为，所以结合正弦函数的性质可知，，解得，即实数的取值范围是，．故答案为：，．14．【解析】．由，可得，解得，．因为在区间内没有零点，所以，且，即且，因为，分别取，1,2,3，，∴的取值范围是，故答案为：．15．或【解析】解: 令.则由可得 则.要使其既有最小值又有最大值若最大值为 则,解得 若最大值为,则,解得.综上所述: 或.故答案为: 或.16．【解析】对任意实数,都有令则因为是定义域为的单调函数所当时,函数值唯一,即代入可得,即化简可得,经检验可知为方程的解而为单调递减函数,为单调递增函数所以两个函数只有一个交点,即只有一个根为所以而所以故答案为: 17．(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．【解析】(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数，因为，所以，因为，所以，又因为得到的图象在上单调递增，所以，解，所以的最大值为.(2) ，令，因为，所以，，所以，，令，显然不是其方程的解，所以得，，画出函数和函数的图象，如下图，则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意；当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意；当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意；当时，对应的，，而此时对应的只有两个解，不满足题意；当时，令，得或 ，此时对应的，，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意；当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意；故的取值范围为.18．（1）；（2）．【解析】（1）当时，，，当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ；（2）的图像的对称轴为 ，要使在区间上单调，那么，或，即或，又，所以.19．（1）；（2）.【解析】(1)由题意可知:,,
,
则,
,
因为点在此函数图象上,
,
,
;
(2),ϕ,
ϕ,
ϕ,
而在上是增函数
,
, 且且,
,解得:
的取值范围是,
解得:
的取值范围是20．（1）；（2）.（3）存在，【解析】（1）由题意，可得，，所以，所以，所以.由点在函数图象上，得，因为，所以，所以.（2）当时，即时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为.（3）由题意，实数满足，解得.因为，所以，同理，由（2）知函数在上单调递增，若，只需，即成立即可，所以存在，使成立.21．（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）【解析】（1）因为， 是偶函数，所以 对一切恒成立，所以.（2）由（1）知 ， 因为其最小值为，所以 ，所以， 当时，取得最大值， 此时；（3）由（2）知：，，，因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,所以，所以，，所以，则，即，又因为， 所以，，当时， ，，在处取得最大值，不符合题意；当时，，， 在取不到最小值，，不符合题意；当时， ，， 在处取得最小值，，的图象关于点中心对称，所以的最小值为.22．（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.【解析】（1），，， 又，因为，，，故，，，故即，所以函数在上为减函数. （2）的满足的不等关系有：即，故，解得，故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称.令又，故为奇函数.（3）令，因为，故.故在上不等式能成立即为存在，使得，所以在上能成立，令，则且，由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，所以a的取值范围为.
