2023南通如皋高三上学期教学质量调研（一）数学试题含答案

2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）

数学

一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，且，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ）

A.的实部为0    B.在复平面内对应的点在第一象限

C.    D.的共轭复数为1

3.已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则数列的公比（    ）

A.1或    B.或

C.或2    D.1或

4.若函数在处取得极值，则称是函数的一个极值点.已知函数的最小正周期为，且在上有且仅有两个零点和两个极值点，则的值可能是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.某同学为班级设计一个班徽，他选择从正八边形中选取素材，如图所示.若正八边形的边长为厘米，则班徽的面积（图中阴影部分）为（    ）平方厘米.

A.    B.    C.7    D.10

6.已知圆，若对于圆上的任意一点，都有，则正数的取值为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

7.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（    ）

A.40    B.36    C.28    D.24

8.设，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.函数过点的切线方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（    ）

A.

B.存在等差数列，使得其前项和

.存在等差数列，使得其前项和

D.对任意的

11.已知圆，抛物线，过圆心的直线与两曲线的四个交点自左向右依次记为，若构成等差数列，则直线的方程可能是（    ）

A.    B

C    D

12.已知，则的值用可以表示为（    ）

A.    B.    C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知为单位向量，且，若，则__________.

14.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数__________.

15.已知双曲线的左､右顶点分别为，点是曲线在第一象限内图象上一点，则的取值范围为__________.

16.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）在中，角的对边分别为.已知.

（1）求角的大小；

（2）若为线段延长线上一点，且，求.

18.（12分）在条件：①；②且；③且中任选一个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列的前项和为__________，

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的前项和为，求

19.（12分）已知双曲线为坐标原点，离心率，点在双曲线上

（1）求双曲线的方程；

（2）如图，若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于两点，求的值，并求出外接圆的方程

20.（12分）如图，长方形纸片的长为，将矩形沿折痕翻折，使得两点均落于边上的点，若.

（1）当时，求长方形宽的长度；

（2）当时，求长方形宽的最大值.

21.（12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，右焦点为，点是梛圆上一动点（异于）点关于原点的对称点为，连接并延长交于点连接并延长交椭圆于点，记面积分别为

（1）当点坐标为时，求的值；

（2）是否存在点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）已知函数是的导函数，且

（1）判断在上的单调性，并说明理由；

（2）判断函数在内的零点个数，并说明理由.

2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）

数学-答案

一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】，

选D.

2.【答案】C

【解析】，实部为，错；

位于第二象限，B错；

对，选C.

3.【答案】A

【解析】成等差数列，

或选

4.【答案】B

【解析】

对于A，时在有三个零点不满足条件

对于C，时在有且仅有两个零点，有三个极值点，不选，

同理D也不选，选B.时，在有且仅有两个零点：有且仅有两个极值点满足，选B.

5.【答案】A

【解析】如图，

，

，选A.

6.【答案】A

【解析】，

选A.

7.【答案】B

【解析】抛物线的焦点在直线上，

，（结论：为抛物线的焦点弦，为定值）

选B.

8.【答案】B

【解析】法一：若，令

在

，即，比较与的大小，先比较与

若

令

时，选B.

法二：秒杀

另一方面由时，，

，选B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AD

【解析】切点

切线过，

或时切线选D

时切线选A，选

10.【答案】ACD

【解析】是以1为首项1为公差的等差数列

，即

A对

等差数列的前项和错.

，数列是等差数列且前项和为对.对.

11.【答案】CD

【解析】

令

对于A，B，不满足；对于C，D，满足条件，选CD

12.【答案】AD

【解析】法一：

由选项知CD中选D，选AD.

法二：原式

正确，B错；

正确，C错.

选：AD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】

【解析】

.

14.【答案】

【解析】

15.

【答案】

【解析】

令，则

渐近线的斜率

的取值范围.

16.【答案】

【解析】恒成立，恒成立

令在

即

在.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】

（1）

或或舍去

（2）法一：设

在中，，①

在中，，②

.

法二：设，在中，，①

在中，，②

.

18.【解析】

（1）若选①，由，①

时，，②

①②

而也满足上式，

（2）此时，

若选②，3S①

时，3S，②

①②

以下同上.

若选③，①

时，，②

①②

时由①知也满足上式，，同②

19.【解析】

（1）由题意知

（2）设

外接圆圆心为而外接圆圆心为

直径为半径

外接圆的方程为

20.【解析】

（1）当时，

，设，①

，②

.

（2）在中，①

②

.

21.【解析】

（1）当时，

方程：

，

（2）设方程：

方程：

方程：

假设存在这样的，则存在此时.

22.【解析】

（1）

，当时，

在上单调递增

（2）在上

注意到

存在位于的使

且当时，；

当时，

且

，

在和上各有一个零点

且当时，时，当时，

且

当时，；

当时，

在上有唯一的零点

且当时，；当时，

注意到

在和上各有一个零点，

共两个零点