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初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明同步测试题
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这是一份初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明同步测试题，共29页。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
2．已知△ABC和△DEF满足，且∠A＝70°，∠B＝60°，则∠F＝（ ）
A．60° B．50° C．70° D．60或50°
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（ ）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
6．如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC＝4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为（ ）
A．4：6 B．9：4 C．5：9 D．5：6
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（ ）
A．（10，） B．（，） C．（12，） D．（，）
8．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18 B．21 C．23 D．24
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC的延长线上，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于G，交AD于F．若S△AEG＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝2，CD＝4，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则S△DEF：S△ADF＝（ ）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
12．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AGE＝S四边形EBCG，则＝ ．
14．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为 ．
15．在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：SACD＝ ．
16．如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，则S2＝ ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的延长线上一点，AE与CD交于点F，BC＝2CE，若AB＝6，则DF＝ ．
19．如图，正方形ABCD中，E，F均是边BC的三等分点，点G在DC边上，且CG＝2GD，连接BG分别交AE，AF于点M，N，则＝ ．
20．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝ ．
21．如图，已知△ABC三边长为a、b、c，三条中位线组成一个新的三角形，新的三角形的中位线又组成一个三角形，以此类推，第五次组成的三角形的周长为 ．
22．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM＝ 时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
三．解答题
23．已知在△ABC中，D是边AC上一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD＝6，CD＝4，求DE的长．
24．如图，在△ABP中，C，D分别是AP，BP上的点．若CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1．
（1）求证：△ABP∽△DCP；
（2）求AB的长．
25．已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB，求证：AE2＝AD•AC．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上的点，且AD＝3AE，连接CE并延长交BA延长线于点F．
（1 ）求证：AB＝2AF；
（2）连接AC和BE相交于点为O，若△AOE的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．
27．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．
28．如图所示，已知△ADE中，∠DAE＝120°，点B、C在边DE上，△ABC是正三角形．若DB＝4，CE＝9，求△ABC的周长．
29．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x（0＜x＜6），CE＝y（0＜y＜8）．
（1）当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．
30．【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连接AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝ ．
31．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AE＝2ED，
∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：B．
2．解：∵，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠F＝∠C，
∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠F＝50°．
故选：B．
3．解：过O点作OM∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD＝14，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝DM＝AD＝，OM＝BA＝7，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE＝＝2.2，
故选：B．
4．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．
∴＝，＝＝，＝，
∴A错误，C正确，D错误．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故选：A．
6．解：∵BG：GH：HC＝4：6：5，可以假设BG＝4k，GH＝6k，HC＝5k，
∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，
∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，
∴DF＝BG＝4k，EF＝HC＝5k，DE＝DF+EF＝9k，∠FGH＝∠B＝∠ADE，∠FHG＝∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△FGH，
∴＝．
故选：B．
7．解：过D作DQ⊥OA交OA于点Q，过B作BH⊥OA于H，如图所示，
由题意知：OD是∠COA的角平分线，
∴∠COD＝∠QOD，
∵AC⊥OC，DQ⊥OA，
在△COD和△QOD中，
∴△COD≌QOD）（AAS），
∴DC＝DQ＝3，
∴OC＝OQ，
∵AD＝5，
∴AQ＝＝＝4，
设OC＝OQ＝a，
在Rt△AOC中，有a2+（3+5）2＝（a+4）2，
解得：a＝6，
∴OA＝OQ+QA＝6+4＝10，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠COA＝∠BAH，OC＝AB，
∴△ABH∽△OAC，
∴，，
∴AH＝＝＝，
BH＝＝，
∴OH＝OA+AH＝10+＝，
∴B（，）．
故选：D．
8．解：如图，
∵四边形HBCI和四边形ICDG是正方形，
∴HB∥CI，CI∥DG，
∴HB∥DG，
△ABE∽△ADG，
∴AB：AD＝BE：DG，
又∵AB＝2，AD＝2+6+8＝16，GD＝8，
∴BE＝1，
∴HE＝6﹣1＝5；
同理得，△ACF∽△ADG，
∴AC：AD＝CF：DG，
∵AC＝2+6＝8，AD＝16，DG＝8，
∴CF＝4，
∴IF＝6﹣4＝2；
∴S梯形IHEF＝（IF+HE）•HI
＝×（2+5）×6＝21，
故选：B．
9．解：∵S△AEG＝S四边形EBCG，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴AE：AB＝1：2，即E为AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴F为AD的中点，
∴CF为直角三角形ACD斜边上的中线，
∴CF＝AD．
故选：A．
10．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥EF∥CD，
∴△DEF∽△DAB，△BFE∽△BDC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
∵AB＝2，CD＝4，
∴EF＝，
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴EF：FA＝2：5，
∴S△DEF：S△ADF＝2：5，
故选：B．
12．解：∵M，N分别是边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，且MN＝BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：3．
故选：B．
二．填空题
13．解：∵S△AEG＝S四边形EBCG，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝＝（）2，
∴AE：AB＝1：2，即E为AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴F为AD的中点，
∴CF为直角三角形ACD斜边上的中线，
∴CF＝AD，
∴＝；
故答案为：．
14．解：连接BD，
如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
又∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：6，
故答案为：1：6．
15．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC＝1：16，
∴S△ACD＝16a﹣a﹣3a＝12a，
∴S△BDE：S△ACD＝a：12a＝1：12．
故答案为：1：12．
16．解：△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA＝∠EBD＝60°，
∴∠CBE＝60°，
同理∠EDG＝60°，
∴∠CBE＝∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD＝∠GDF＝60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB＝∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac，
∵S1：S3＝（a：c）2＝8：2＝4：1，
∴a：c＝2：1，
∵S1：S2＝（）2＝＝＝＝，
∴S2＝S1＝4．
故答案是4．
17．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
解法二：过E做EM⊥AB，利用平行线等分线段解决问题．
故答案为．
18．解：∵BC＝2CE，
∴BE＝3CE．
∵CF∥AB，
∴△EFC∽EAB．
∴，即，解得CF＝2．
∵平行四边形ABCD中，CD＝AB＝6，
∴DF＝6﹣2＝4．
故答案为4．
19．解：作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，
AF＝＝，
∵S△ABF＝AF•BN＝AB•BF，
∴BN＝，NF＝BN＝，
∴AN＝AF﹣NF＝，
∵E是BF中点，
∴EH是△BFN的中位线，
∴EH＝，NH＝，BN∥EH，
∴AH＝，＝，
解得：MN＝，
∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，
∴＝；
故答案是：．
20．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，
由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，
则FC＝2DM
根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．
21．解：由△ABC三边长为a、b、c，三条中位线组成一个新的三角形，
可知新三角形与原三角形相似，相似比是1：2，
即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的，
以此类推，第n次组成的三角形的周长．，
那么第五次组成的三角形的周长为．
22．解：设CM的长为x．
在Rt△MNC中
∵MN＝1，
∴NC＝，
①当Rt△AED∽Rt△CMN时，
则，
即，
解得x＝或x＝（不合题意，舍去），
②当Rt△AED∽Rt△CNM时，
则，
即，
解得x＝或（不合题意，舍去），
综上所述，当CM＝或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
故答案为：或．
三．解答题
23．证明：（1）∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）设DE＝x，则AE＝AB＝AD+DE＝6+x，
AC＝AD+CD＝6+40；
∵△ABD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：x＝﹣6±2（负值不符合题意，舍去），
∴DE＝﹣6+2．
24．解：（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1，
∴AP＝AC+CP＝3.5+4＝7.5，BP＝BD+DP＝1+5＝6，
∴＝，＝＝，
∴，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
（2）∵△ABP∽△DCP，
∴，
即：＝，
∴AB＝6．
25．证明：∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC，
∵AE＝AB，
∴AE•AE＝AD•AC．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AF∥CD，
∴△AEF∽△DCE，
∴，
∵AD＝3AE，即ED＝2AE，
∴，
∴CD＝2AF，
∵AB＝CD，
∴AB＝2AF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝3AE，
∴AB∥CD，BC＝3AE，
∴△AEO∽△CBO，
∴，
∵△AOE的面积为1，
∴，
即S△BC0＝9S△AEO＝9．
设点A到BE的距离为h，则
，
∴S△ABO＝3S△AEO＝3，
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO＝3+9＝12，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×12＝24．
27．解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
28．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAB+∠CAE＝60°，
∵∠DAB+∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CAE，
∵∠DBA＝∠ACE＝120°，
∴△ABD∽△ECA，
∴＝，
即AB•AC＝BD•CE，
∵BD•CE＝36，
∴AB•AC＝36，
∵AB＝AC，
∴AB2＝36，
∴AB＝6，
∴△ABC的周长为18．
29．解：（1）∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC；
（2）①若△ADE∽△ABC，则＝，
∴y＝x（0＜x＜6）．
②若△ADE∽△ACB，则＝，
∴y＝x+（0＜x＜6）．
30．【探究】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，
过点A作AF⊥BC于F，如图①所示：
则BF＝CF＝BC＝2，AF＝＝＝2，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，
∴AD＝＝＝，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠BAD+∠AED＝120°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝；
【拓展】解：过点A作AF⊥BC于F，如图②所示：
∵∠ABD＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝AB＝2，
∴DF＝DB﹣BF＝3﹣2＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠ADE＝∠ABD＝45°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝，
∴＝＝＝；
故答案为：．
31．解：（1）当t＝2时，PC＝2，
∵BC＝2，
∴PC＝BC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝3，
，
∴点E的坐标是（5，0）；
（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF＝45°，
则∠CBP＝∠CPB＝45°，
，
∴t＝2；
（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
当点P在点O上方时，
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
∴t1＝，
t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，
①若＝，
则△OPE∽△ABE，
＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
解得：t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
∴P的坐标为：
（0，），（0，﹣）．
32．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
2．已知△ABC和△DEF满足，且∠A＝70°，∠B＝60°，则∠F＝（ ）
A．60° B．50° C．70° D．60或50°
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（ ）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
6．如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC＝4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为（ ）
A．4：6 B．9：4 C．5：9 D．5：6
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（ ）
A．（10，） B．（，） C．（12，） D．（，）
8．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18 B．21 C．23 D．24
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC的延长线上，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于G，交AD于F．若S△AEG＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝2，CD＝4，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则S△DEF：S△ADF＝（ ）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
12．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AGE＝S四边形EBCG，则＝ ．
14．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为 ．
15．在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：SACD＝ ．
16．如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，则S2＝ ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的延长线上一点，AE与CD交于点F，BC＝2CE，若AB＝6，则DF＝ ．
19．如图，正方形ABCD中，E，F均是边BC的三等分点，点G在DC边上，且CG＝2GD，连接BG分别交AE，AF于点M，N，则＝ ．
20．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝ ．
21．如图，已知△ABC三边长为a、b、c，三条中位线组成一个新的三角形，新的三角形的中位线又组成一个三角形，以此类推，第五次组成的三角形的周长为 ．
22．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM＝ 时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
三．解答题
23．已知在△ABC中，D是边AC上一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD＝6，CD＝4，求DE的长．
24．如图，在△ABP中，C，D分别是AP，BP上的点．若CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1．
（1）求证：△ABP∽△DCP；
（2）求AB的长．
25．已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB，求证：AE2＝AD•AC．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上的点，且AD＝3AE，连接CE并延长交BA延长线于点F．
（1 ）求证：AB＝2AF；
（2）连接AC和BE相交于点为O，若△AOE的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．
27．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．
28．如图所示，已知△ADE中，∠DAE＝120°，点B、C在边DE上，△ABC是正三角形．若DB＝4，CE＝9，求△ABC的周长．
29．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x（0＜x＜6），CE＝y（0＜y＜8）．
（1）当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．
30．【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连接AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝ ．
31．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AE＝2ED，
∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：B．
2．解：∵，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠F＝∠C，
∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠F＝50°．
故选：B．
3．解：过O点作OM∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD＝14，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝DM＝AD＝，OM＝BA＝7，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE＝＝2.2，
故选：B．
4．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．
∴＝，＝＝，＝，
∴A错误，C正确，D错误．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故选：A．
6．解：∵BG：GH：HC＝4：6：5，可以假设BG＝4k，GH＝6k，HC＝5k，
∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，
∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，
∴DF＝BG＝4k，EF＝HC＝5k，DE＝DF+EF＝9k，∠FGH＝∠B＝∠ADE，∠FHG＝∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△FGH，
∴＝．
故选：B．
7．解：过D作DQ⊥OA交OA于点Q，过B作BH⊥OA于H，如图所示，
由题意知：OD是∠COA的角平分线，
∴∠COD＝∠QOD，
∵AC⊥OC，DQ⊥OA，
在△COD和△QOD中，
∴△COD≌QOD）（AAS），
∴DC＝DQ＝3，
∴OC＝OQ，
∵AD＝5，
∴AQ＝＝＝4，
设OC＝OQ＝a，
在Rt△AOC中，有a2+（3+5）2＝（a+4）2，
解得：a＝6，
∴OA＝OQ+QA＝6+4＝10，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠COA＝∠BAH，OC＝AB，
∴△ABH∽△OAC，
∴，，
∴AH＝＝＝，
BH＝＝，
∴OH＝OA+AH＝10+＝，
∴B（，）．
故选：D．
8．解：如图，
∵四边形HBCI和四边形ICDG是正方形，
∴HB∥CI，CI∥DG，
∴HB∥DG，
△ABE∽△ADG，
∴AB：AD＝BE：DG，
又∵AB＝2，AD＝2+6+8＝16，GD＝8，
∴BE＝1，
∴HE＝6﹣1＝5；
同理得，△ACF∽△ADG，
∴AC：AD＝CF：DG，
∵AC＝2+6＝8，AD＝16，DG＝8，
∴CF＝4，
∴IF＝6﹣4＝2；
∴S梯形IHEF＝（IF+HE）•HI
＝×（2+5）×6＝21，
故选：B．
9．解：∵S△AEG＝S四边形EBCG，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴AE：AB＝1：2，即E为AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴F为AD的中点，
∴CF为直角三角形ACD斜边上的中线，
∴CF＝AD．
故选：A．
10．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥EF∥CD，
∴△DEF∽△DAB，△BFE∽△BDC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
∵AB＝2，CD＝4，
∴EF＝，
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴EF：FA＝2：5，
∴S△DEF：S△ADF＝2：5，
故选：B．
12．解：∵M，N分别是边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，且MN＝BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：3．
故选：B．
二．填空题
13．解：∵S△AEG＝S四边形EBCG，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝＝（）2，
∴AE：AB＝1：2，即E为AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴F为AD的中点，
∴CF为直角三角形ACD斜边上的中线，
∴CF＝AD，
∴＝；
故答案为：．
14．解：连接BD，
如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
又∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：6，
故答案为：1：6．
15．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC＝1：16，
∴S△ACD＝16a﹣a﹣3a＝12a，
∴S△BDE：S△ACD＝a：12a＝1：12．
故答案为：1：12．
16．解：△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA＝∠EBD＝60°，
∴∠CBE＝60°，
同理∠EDG＝60°，
∴∠CBE＝∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD＝∠GDF＝60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB＝∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac，
∵S1：S3＝（a：c）2＝8：2＝4：1，
∴a：c＝2：1，
∵S1：S2＝（）2＝＝＝＝，
∴S2＝S1＝4．
故答案是4．
17．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
解法二：过E做EM⊥AB，利用平行线等分线段解决问题．
故答案为．
18．解：∵BC＝2CE，
∴BE＝3CE．
∵CF∥AB，
∴△EFC∽EAB．
∴，即，解得CF＝2．
∵平行四边形ABCD中，CD＝AB＝6，
∴DF＝6﹣2＝4．
故答案为4．
19．解：作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，
AF＝＝，
∵S△ABF＝AF•BN＝AB•BF，
∴BN＝，NF＝BN＝，
∴AN＝AF﹣NF＝，
∵E是BF中点，
∴EH是△BFN的中位线，
∴EH＝，NH＝，BN∥EH，
∴AH＝，＝，
解得：MN＝，
∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，
∴＝；
故答案是：．
20．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，
由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，
则FC＝2DM
根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．
21．解：由△ABC三边长为a、b、c，三条中位线组成一个新的三角形，
可知新三角形与原三角形相似，相似比是1：2，
即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的，
以此类推，第n次组成的三角形的周长．，
那么第五次组成的三角形的周长为．
22．解：设CM的长为x．
在Rt△MNC中
∵MN＝1，
∴NC＝，
①当Rt△AED∽Rt△CMN时，
则，
即，
解得x＝或x＝（不合题意，舍去），
②当Rt△AED∽Rt△CNM时，
则，
即，
解得x＝或（不合题意，舍去），
综上所述，当CM＝或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
故答案为：或．
三．解答题
23．证明：（1）∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）设DE＝x，则AE＝AB＝AD+DE＝6+x，
AC＝AD+CD＝6+40；
∵△ABD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：x＝﹣6±2（负值不符合题意，舍去），
∴DE＝﹣6+2．
24．解：（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1，
∴AP＝AC+CP＝3.5+4＝7.5，BP＝BD+DP＝1+5＝6，
∴＝，＝＝，
∴，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
（2）∵△ABP∽△DCP，
∴，
即：＝，
∴AB＝6．
25．证明：∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC，
∵AE＝AB，
∴AE•AE＝AD•AC．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AF∥CD，
∴△AEF∽△DCE，
∴，
∵AD＝3AE，即ED＝2AE，
∴，
∴CD＝2AF，
∵AB＝CD，
∴AB＝2AF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝3AE，
∴AB∥CD，BC＝3AE，
∴△AEO∽△CBO，
∴，
∵△AOE的面积为1，
∴，
即S△BC0＝9S△AEO＝9．
设点A到BE的距离为h，则
，
∴S△ABO＝3S△AEO＝3，
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO＝3+9＝12，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×12＝24．
27．解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
28．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAB+∠CAE＝60°，
∵∠DAB+∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CAE，
∵∠DBA＝∠ACE＝120°，
∴△ABD∽△ECA，
∴＝，
即AB•AC＝BD•CE，
∵BD•CE＝36，
∴AB•AC＝36，
∵AB＝AC，
∴AB2＝36，
∴AB＝6，
∴△ABC的周长为18．
29．解：（1）∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC；
（2）①若△ADE∽△ABC，则＝，
∴y＝x（0＜x＜6）．
②若△ADE∽△ACB，则＝，
∴y＝x+（0＜x＜6）．
30．【探究】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，
过点A作AF⊥BC于F，如图①所示：
则BF＝CF＝BC＝2，AF＝＝＝2，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，
∴AD＝＝＝，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠BAD+∠AED＝120°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝；
【拓展】解：过点A作AF⊥BC于F，如图②所示：
∵∠ABD＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝AB＝2，
∴DF＝DB﹣BF＝3﹣2＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠ADE＝∠ABD＝45°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝，
∴＝＝＝；
故答案为：．
31．解：（1）当t＝2时，PC＝2，
∵BC＝2，
∴PC＝BC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝3，
，
∴点E的坐标是（5，0）；
（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF＝45°，
则∠CBP＝∠CPB＝45°，
，
∴t＝2；
（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
当点P在点O上方时，
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
∴t1＝，
t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，
①若＝，
则△OPE∽△ABE，
＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
解得：t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
∴P的坐标为：
（0，），（0，﹣）．
32．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
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