初中数学1 探索勾股定理随堂练习题

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专题1.1探索勾股定理一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·天津初一期末）如图，在中，已知，，，则的大小有可能是（    ）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【解析】解：在中，已知，由勾股定理，得，故选：D．2．（2020·四川东辰国际学校初二月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA=10，SB=8，SC=9，SD=4，则S=（　 　）A．25 B．31 C．32 D．40【答案】B【解析】根据勾股定理的几何意义，可知：S=SF+SG=SA+SB+SC+SD=10+8+9+4=31．故选B． 3．（2020·湖北江夏一中初二期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤l3【答案】A【解析】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选A．4．（2020·广西初二期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（   ）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算【答案】C【解析】解：正方形ADEC的面积为AC2，正方形BCFG的面积为BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝15，则AC2＋BC2＝225cm2．故选：C．5．（2020·广西初三一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由作法得垂直平分，，，，，，为斜边上的中线，，．故选：．6．（2020·福建初一期末）在平面直角坐标系中，，，其中，则下列对长度判断正确的是（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】C【解析】解：∵在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2-b，4-b），a+b=2，∴AB==，故选：C．7．（2020·广西中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（  ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸【答案】C【解析】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．8．（2020·湖南初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90˚，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2，
解得x=4．
即BN=4．
故选：C．9．（2019·黑龙江初二期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】解：由四边形ABCD为矩形以及折叠可得，AD′=AD=BC，∠D=∠D′=∠B，又∠AFD′=∠CFB，∴△AFD′≌△CFB（AAS），∴D′F＝BF，设D′F＝BF＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，∴AF＝8-x＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故选：C．10．（2020·江苏初二期末）如图，已知在△ABC中， ，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且，连接CD，且△ACD的面积为（   ）A．24 B．30 C．36 D．40【答案】B【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，
∴AD=AC，
又∵∠DAC=∠BAC，∠ABC=∠DEA=90°，
∴△ABC≌△AED（AAS）
∴DE=BC=6，
∴S△ACD=AC×DE=30，
故选：B．11．（2020·湖南广益实验中学初三一模）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（　　）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠C＝90°，过D作DP⊥AP于P，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．又∵DC⊥AC、DP⊥AB，∴∠C＝∠APD．在△ACD与APD中，∵ ∴△ACD≌APD（AAS），∴AP＝AC＝4，CD＝PD，设DP=x，则CD＝x，BD＝3﹣x，在Rt△DPB中，∠DPB＝90°，∴DP2+PB2＝DB2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得 ∴ 故选：D．12．（2019·广东深圳外国语学校初一期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为(　　)A．6 B．9 C．18 D．36【答案】D【解析】平分，平分，，，即，又，平分，平分，，， ，，由勾股定理可知.故选：.13．（2020·浙江初三其他）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（　　）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【答案】A【解析】解：∵BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，∴AB＝＝＝15，由翻折的性质得，AE＝DE，AB＝BD＝15，∴CD＝BD﹣BC＝6，在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，即62+（12﹣DE）2＝DE2，解得DE＝7.5．故选：A．14．（2020·山东初二期中）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·广西初二期中）已知直角三角形两直角边长为3cm，4cm，那么这个直角三角形斜边上的高为_____．【答案】【解析】∵直角三角形两直角边长为3cm，4cm，∴斜边5（cm）．设这个直角三角形斜边上的高为h，则h（cm）．故答案为：cm．16．（2020·山东初一期末）有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是__________．【答案】225或63．【解析】解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：92+122=225；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：122-92=144-81=63；
故答案是：225或63．17．（2020·溧阳市南渡初级中学初三二模）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.【答案】4【解析】∵勾，弦，∴股b=，∴小正方形的边长＝，∴小正方形的面积故答案为：418．（2020·广东惠州一中初三二模）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________．【答案】【解析】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，，，，…，.当n=2020时，.三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·山西初二期中）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？【答案】5米【解析】解：竹竿长x米，则门高（x-1）米，根据题意得：，解得：x=5答：竹竿高5米．20．（2020·广东初二期中）如图，小明和小方分别在处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在处，小方在处，请求出的距离．【答案】100km【解析】解：由题意可得：，，则，答：的距离为．21．（2020·宁夏固原市原州区三营中学初二月考） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a，b，c．                                          （1）a＝6，b＝8，求c及斜边上的高；                   （2）a∶b＝3∶4，c＝15，求a和b．                                                  【答案】（1），斜边上的高为4.8；（2），．【解析】解：（1）根据勾股定理，得：，斜边上的高等于：；（2）由，根据勾股定理，得，又，则，．22．（2020·安徽省庐江第三中学初二期中）你一定玩过荡秋千的游戏吧，小明在荡秋千时发现：如图，当秋千在静止位置时，下端离地面0.5米，当秋千荡到位置时，下端距静止时的水平距离为4米，距地面2.5米，请你计算秋千的长.【答案】秋千的长为.【解析】解：∵，，米，由勾股定理得，∴，，解得，∴秋千的长为.23．（2020·河南初二期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长；（2）求CE的长．【答案】（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在CEF中，由勾股定理得：，∴，解得：x=3，故CE的长为3．24．（2019·广东深圳外国语学校初一期末）已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．【答案】（1）见解析；（2）BE＝.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45°∴∠ABC＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵DA⊥BC，BE⊥AC∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°∴△BDF≌△ADC（ASA）（2）∵△BDF≌△ADC∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC∴BF＝ ＝5∴AC＝5，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BE∴7×4＝5×BE∴BE＝.25．（2020·枣阳市吴店镇清潭第一中学初二期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．【答案】(1);  (2)【解析】（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；由题意得：AE＝BE＝8﹣x，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为：．（2）如图（2），∵点B′落在AC的中点，∴CB′＝AC＝3；设CE＝x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32＝（8﹣x）2解得：x＝．即CE的长为：．26．（2020·合肥一六八中学初二月考）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段．      【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析【解析】解：（1）梯形的面积为，也可以表示为，，即（2）在中，在中，所以，解得（3）∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a²+3ab+b²∴边长为：(a+b)，(a+2b)由此可画出的图形为：