第四章 图形的相似基础练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册(含答案)

这是一份第四章 图形的相似基础练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册(含答案)，共9页。
图形的相似基础练习一、选择题1、如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，＝，则和△AED(不包含△AED)相似的三角形有(　　)A．1个  B．2个  C．3个  D．4个 2、如图，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的值为(　　)A．3  B.  C．3或  D．3或5 3、如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　B　) 4、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，AB＝5，AC＝4，若△ABC∽△BDC，则CD＝（　　）A．2 B． C． D． 5、如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）A．2 B． C． D．4二、填空题6、将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则CF的长是________． 7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为　    　． 8、如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为       。 9、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2 ，AB＝3，则BD＝________． 10、如图，△ABC中，点DE分别在边BA，CA的延长线上；且DEBC，若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则BD＝_____． 三、解答题11、如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.点E，F分别在AB，AC上，BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连结BG，EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形．（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．   12、如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC，CD，BD之间的数量关系． 13、.如图所示，已知△ABG∽△FBD，F是AB的中点，求证：=．14、如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC.求：（1）AB的长．（2）CD的长．（3）∠BAD的大小．15、如图所示，在△ABC中，BC=4，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，求EP+BP得值是多少？16、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动．(1)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？(2)是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．  相似三角形的基础练习解析与答案一、选择题1、如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，＝，则和△AED(不包含△AED)相似的三角形有(　　)A．1个  B．2个  C．3个  D．4个解： ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.又∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD＝30°，AD∶AC＝1∶2.∵＝，∴AE∶AB＝1∶4，∴AE∶AD＝1∶2＝AD∶AB.又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ADB，∴∠AED＝∠ADB＝90°.∵∠A＝∠C＝60°，CD∶BC＝AE∶AD＝1∶2，∴△AED∽△CDB.∵∠AED＝∠DEB＝90°，∠ADE＝∠DBE＝30°，∴△AED∽△DEB.故选C.2、如图，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的值为(　　)A．3  B.  C．3或  D．3或5解∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5.又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°－∠CBP.①若△ABP∽△MBC，则＝，即＝，解得BM＝；②若△ABP∽△CBM，则＝，即＝，解得BM＝3.故选C.3、如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　B　)解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的平分线；②＝.故选C.4、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，AB＝5，AC＝4，若△ABC∽△BDC，则CD＝（　　）A．2 B． C． D． 解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4∴BC＝3∵△ABC∽△BDC∴∴∴CD＝．故选：D．5、如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）A．2 B． C． D．4解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．二、填空题6、将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则CF的长是________．解：因为△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，所以FD＝CF.设CF＝x，则BF＝4－x，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则＝，即＝，解得x＝；①若∠BFD＝∠A，则＝，即＝1，解得x＝2.综上所述，CF的长为或2.7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为　    　．解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，∴BC=6cm．直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=10-x①∠ADE=90°时，则DE∥BC，∴∴解得：x= ②当∠AED=90°时△AED∽△ACB∴∴解得：x=故所求BE的长度为：或．8、如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为       。解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根据折叠可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐标为（﹣，）．9、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2 ，AB＝3，则BD＝________．解∵∠BCD＝∠A，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴3BD＝8，∴BD＝.10、如图，△ABC中，点DE分别在边BA，CA的延长线上；且DEBC，若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则BD＝_____．解：， ∴， AE=2，AC=4，AD=3， ， 解得：AB=6， 经检验符合题意；BD=AD+AB=6+3=9， 故答案为：9．三、解答题11、如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.点E，F分别在AB，AC上，BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连结BG，EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形．（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．  解： (1)∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF.∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF.∵BE=AF，∴FG=BE.∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形.(2)BE=3.6.12、如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC，CD，BD之间的数量关系．解： (1)∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°.∴∠ACP=120°.∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B.∴∠APC+∠CPB=∠B+∠CPB.∴∠APB=∠ACP=120°.(2)∵△ACP∽△PDB，∴AC∶PD=PC∶BD∴PD·PC=AC·BD.∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD.∴CD2=AC·BD.13、如图所示，已知△ABG∽△FBD，F是AB的中点，求证：=．解∵△ABG∽△FBD，∴∠G=∠BDF.∴DF∥AG.∵F是AB的中点，∴DF是△ABG的中位线.∴BD=DG.又∵DF∥AG，∴=.∴=.14、如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC.求：（1）AB的长．（2）CD的长．（3）∠BAD的大小．解：解得AB=3.解得CD=.∵△ABC∽△DAC,∴∠B=∠DAC,∠BAC=∠D.又∵∠B=36°,∠D=107°,∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=107°+36°=143°.15、如图所示，在△ABC中，BC=4，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，求EP+BP得值是多少？  解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵EG∥BC，∴∠G=∠GBC，∵∠GBC=∠GBP，∴∠G=∠PBG，∴PB=PG，∴PE+PB=PE+PG=EG，∵3CQ=EC，∴EQ=2CQ，∵EG∥BC，∴=2，∵BC=4，∴EG=8，∴EP+PB=EG=8，故答案为：8．16、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动．(1)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？(2)是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设经过x s后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有(6－2x)x＝×3×6，即x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，经检验，可知x1＝1，x2＝2符合题意，∴经过1 s或2 s后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(2)假设存在某一时刻t，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．由矩形的定义可得∠CDA＝∠MAN＝90°，∴＝或＝，即＝①或＝②，解方程①，得t＝，解方程②，得t＝.经检验，t＝和t＝都符合题意，∴当t的值为或时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．