人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课时作业

这是一份人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课时作业，共34页。试卷主要包含了方程x2+x﹣2＝0的两个根为，方程，方程﹣x等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程和二次函数专项练习
一．选择题（共27小题）
1．方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
2．方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
4．据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率，若设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．150（1+2x）＝216 B．150×2（1+x）＝216
C．150（1+x）2＝216 D．150+150×2x＝216
5．方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　）
A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4
6．学校为了对学生进行劳动教育，开辟一个面积为130平方米的矩形种植园，打算一面利用长为15米的仓库墙面，其它三面利用长为33米的围栏．如图，如果设矩形与墙面垂直的一边长为x米，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（33﹣2x）＝130 B．x（15﹣x）＝130
C．x（15﹣2x）＝130 D．x（33﹣x）＝130
7．方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x＝0 D．x1＝1，x2＝0
8．一元二次方程3x2﹣6x＝1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（　　）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝﹣6，c＝1
C．a＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1
9．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125
C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80
10．一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
11．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
12．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）
A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260
13．在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是（　　）
A．x （x+1）＝110 B．x （x﹣1）＝110
C．2x （ x+1）＝110 D．x （x﹣1）＝110×2
14．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m≥﹣ D．m≤﹣
15．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6 B．﹣6，1 C．1，6 D．6，1
16．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
17．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+10的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
18．把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
19．对于二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．当x＝2时，y有最小值是3
C．对称轴是直线x＝2 D．顶点坐标是（﹣2，3）
20．抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（　　）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
21．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
22．二次函数y＝x2+bx+3满足当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，则x＝1时，y的值等于（　　）
A．﹣8 B．0 C．3 D．8
23．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3
24．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
25．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
26．若A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
27．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y＝﹣2x2的图象（　　）
A．向左平移1个单位，向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，向下平移3个单位
二．填空题（共20小题）
28．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣8x＝0的两根，则x1+x2＝　 　．
29．若x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值为 　 　．
30．已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是 　 　．
31．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为 　 　．
32．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
33．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2017﹣a﹣b的值是　 　．
34．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为　 　．
35．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　 　．
36．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为　 　．

37．将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　 　．
38．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　 　．
39．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是　 　．
40．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　 　．

41．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+5的顶点坐标是 　 　．
42．二次函数y＝x2﹣2x+n的最小值为﹣3，则n的值为 　 　．
43．已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣3），那么a的值为 　 　．
44．抛物线y＝2x2+x+1与y轴的交点坐标为 　 　．
45．把抛物线y＝先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是 　 　．
46．已知二次函数y＝﹣2（x+3）2+4，则其图象开口向 　 　，对称轴为 　 　，顶点坐标为 　 　．
47．二次函数y＝x2+2x+3的顶点坐标为　 　．
三．解答题（共13小题）
48．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0．
（Ⅰ）若k＝1，求方程的根；
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
49．解下列方程．
（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；
（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．
50．解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
51．（Ⅰ）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（Ⅱ）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x+2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．
52．解方程：
（1）x2﹣6x+5＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2．
53．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　 　件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
54．“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件．设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，可售出商品　 　件（用含x的代数式表示）．
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
（3）销售该商品的总利润能否达到30000元？若能，请求出此时的单价；若不能，请说明理由．
55．已知2是方程x2﹣c＝0的一个根，求常数c的值及该方程的另一根．
56．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．

57．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
58．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
59．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
60．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，以维护老百姓的利益．某种药品原价400元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖324元/瓶．求该种药品平均每次降价的百分率．

一元二次方程和二次函数练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
2．方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【分析】根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支＝91，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
1+x+x•x＝1+x+x2＝91．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
4．据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率，若设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．150（1+2x）＝216 B．150×2（1+x）＝216
C．150（1+x）2＝216 D．150+150×2x＝216
【分析】设年平均增长率x，根据等量关系“2020年底汽车拥有量＝2018年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）2”列出一元二次方程求得．
【解答】解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得150（1+x）2＝216，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用﹣﹣增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，增长率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
5．方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　）
A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4
【分析】首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为x2+3x+2＝0，进而可得到常数项．
【解答】解：（x+1）（x+2）＝0，
x2+3x+2＝0，
常数项为2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6．学校为了对学生进行劳动教育，开辟一个面积为130平方米的矩形种植园，打算一面利用长为15米的仓库墙面，其它三面利用长为33米的围栏．如图，如果设矩形与墙面垂直的一边长为x米，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（33﹣2x）＝130 B．x（15﹣x）＝130
C．x（15﹣2x）＝130 D．x（33﹣x）＝130
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为（33﹣2x）米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为（33﹣2x）米，
根据题意，得x（33﹣2x）＝130．
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x＝0 D．x1＝1，x2＝0
【分析】此题考查了学生用降次的方法解一元二次方程的思想，此题可以化为两个一次方程：﹣x＝0，x+1＝0，解此两个一次方程即可求得．
【解答】解：∵﹣x（x+1）＝0，
∴x+1＝0或﹣x＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝0．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
8．一元二次方程3x2﹣6x＝1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（　　）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝﹣6，c＝1
C．a＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a、b、c的值即可．
【解答】解：∵3x2﹣6x＝1，
∴3x2﹣6x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，带着前面的符号．
9．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125
C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，125（1﹣x）2＝80．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
【解答】解：根据题意可得，
a＝1，b＝﹣8，c＝20．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴一元二次方程无实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．
11．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝21，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．
12．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）
A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是（　　）
A．x （x+1）＝110 B．x （x﹣1）＝110
C．2x （ x+1）＝110 D．x （x﹣1）＝110×2
【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：设参加聚会的有x名学生，
根据题意得：
x（x﹣1）＝110，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
14．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m≥﹣ D．m≤﹣
【分析】先整理方程，根据方程有实数根和x1≠x2得出Δ＞0，求出即可．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝m，
∴x2﹣5x+6﹣m＝0，
∵关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m）＞0，
解得：m＞﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了很的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
15．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6 B．﹣6，1 C．1，6 D．6，1
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【解答】解：化为一般式为：3x2﹣6x+1＝0
∴故一次项系数为﹣6，常数项为：1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
16．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
17．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+10的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
【分析】先求出二次函数的开口方向，对称轴，再根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+10中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝3，
∵﹣6＜﹣2＜2＜3，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
18．把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
【解答】解：将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：y＝5（x+2）2+3．
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
19．对于二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．当x＝2时，y有最小值是3
C．对称轴是直线x＝2 D．顶点坐标是（﹣2，3）
【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
【解答】解：由y＝﹣（x+2）2+3得，开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），当x＝﹣2时，y有最大值是3，
故选项A、B、C错误，选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．
20．抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（　　）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，且1﹣（﹣4）＞2﹣1，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＞﹣3时，y随的增大而减小．
【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），
x≤﹣3时y随x增大而增大，
x＞﹣3时y随x增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2的性质．
22．二次函数y＝x2+bx+3满足当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，则x＝1时，y的值等于（　　）
A．﹣8 B．0 C．3 D．8
【分析】由已知可得对称轴为x＝﹣2，利用二次函数的性质可得b＝4，从而得出二次函数解析式，把x＝1代入，即可得y的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4，
∴二次函数y＝x2+4x+3，
当x＝1时，y＝1+4+3＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
23．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3
【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
24．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y＝﹣（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，5）．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
26．若A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3，
﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
0﹣（﹣2）＝2，
∴y2＜y3＜y1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键．
27．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y＝﹣2x2的图象（　　）
A．向左平移1个单位，向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，向下平移3个单位
【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
【解答】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
只需将函数y＝﹣2x2+4x+1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
二．填空题（共20小题）
28．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣8x＝0的两根，则x1+x2＝　8　．
【分析】利用根与系数的关系即可求出两根之和．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x＝0的两根，
∴x1+x2＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
29．若x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值为 　﹣　．
【分析】利用根与系数关系求出两根之积即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，
∴x1•x2＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
30．已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是 　4　．
【分析】设另一根是a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，即可求得答案．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣2+a＝，解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．
31．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为 　﹣16　．
【分析】将m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m＝1，再将所求代数式变形为﹣3（2m2﹣3m）﹣13即可求解．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∵﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3﹣13＝﹣16，
故答案为：﹣16．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．
32．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　m＞4　．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＜0，
∴16﹣4m＜0，
∴m＞4
故答案为：m＞4
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
33．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2017﹣a﹣b的值是　2022　．
【分析】令x＝1代入原方程即可求出原式的值．
【解答】解：令x＝1代入ax2+bx+5＝0
∴a+b+5＝0
∴原式＝2017﹣（a+b）＝2017+5＝2022
故答案为：2022
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
34．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为　x2+x+1＝91　．
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故答案为x2+x+1＝91．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
35．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　10　．
【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，再运用通分和完全平方公式变形得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以+＝＝＝＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
36．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为　（20﹣x）（32﹣x）＝540　．

【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故答案为：（20﹣x）（32﹣x）＝540．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
37．将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　y＝x2﹣2　．
【分析】根据“上加下减”可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y＝x2﹣2，
故答案为：y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
38．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　y＝2（x+1）2﹣2　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
39．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是　x＜1　．
【分析】抛物线y＝﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x＝1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．
40．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　①③②　．

【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y＝3x2，
②y＝x2，
③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，
∵3＞1＞，
∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．
41．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+5的顶点坐标是 　（2，5）　．
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．
故答案为：（2，5）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
42．二次函数y＝x2﹣2x+n的最小值为﹣3，则n的值为 　﹣2　．
【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于n的等式，解方程求出n的值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+n＝（x﹣1）2﹣1+n，
∵函数的最小值是﹣3，
∴﹣1+n＝﹣3，
∴n＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．
43．已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣3），那么a的值为 　﹣1　．
【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣3），
∴﹣3＝a﹣2，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
44．抛物线y＝2x2+x+1与y轴的交点坐标为 　（0，1）　．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得结果．
【解答】解：当x＝0时，y＝1，
抛物线y＝2x2+x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
45．把抛物线y＝先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是 　y＝（x+3）2+1　．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出抛物线的解析式即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x+2）2﹣1先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为：y＝（x+2+1）2﹣1+2，
即y＝（x+3）2+1．
故答案为：y＝（x+3）2+1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决问题的关键．
46．已知二次函数y＝﹣2（x+3）2+4，则其图象开口向 　下　，对称轴为 　直线x＝﹣3　，顶点坐标为 　（﹣3，4）　．
【分析】由a＝﹣2＜0，可以判断抛物线开口向下，由抛物线解析式可以判断顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+3）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，4），
故答案为：下，直线x＝﹣3，（﹣3，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是对抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标的判断．
47．二次函数y＝x2+2x+3的顶点坐标为　（﹣1，2）　．
【分析】将y＝x2+2x+3化为顶点式，即可得答案．
【解答】解：二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是将解析式化为顶点式．
三．解答题（共13小题）
48．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0．
（Ⅰ）若k＝1，求方程的根；
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当k＝1时，方程化为x2﹣4x＝0，然后利用因式分解法解方程即可；
（Ⅱ）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）当k＝1时，方程化为x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝0，x2＝4；
（Ⅱ）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜5，
所以k的取值范围为k＜5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
49．解下列方程．
（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；
（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（Ⅰ）先移项，使方程的右边化为零，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；
（Ⅱ）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2），
x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，
（3x+2）（x﹣6）＝0，
3x+2＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝﹣，x2＝6；

（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝4+48＝52，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
50．解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2；
（2）∵3x（2x+1）＝4x+2，
∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
∴（2x+1）（3x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
51．（Ⅰ）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（Ⅱ）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x+2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．
【分析】（Ⅰ）方程两边开方得到x﹣3＝±（5﹣2x），然后解两个一次方程即可；
（Ⅱ）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝4m2+25，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
x﹣3＝±（5﹣2x），
即x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝﹣（5﹣2x），
所以x1＝，x2＝2；
（Ⅱ）证明：方程化为一般式为：x2﹣x﹣6﹣m2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣6﹣m2）
＝4m2+25＞0，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
52．解方程：
（1）x2﹣6x+5＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝5；
（2）∵3x（x﹣1）＝2x﹣2，
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
53．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　100　件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）根据实际销量＝原销售量+10×列式计算即可；
（2）根据以上等量关系求解即可；
（3）根据“每月销售利润＝实际销售量×（实际售价﹣每件成本）”列出方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为50+10×＝100（件），
故答案为：100；

，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；

（3）依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式和方程．
54．“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件．设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，可售出商品　（500+20x）　件（用含x的代数式表示）．
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
（3）销售该商品的总利润能否达到30000元？若能，请求出此时的单价；若不能，请说明理由．
【分析】（1）降价1元，可多售出20件，降价x元，可多售出20x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）（3）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数500+20×降价的钱数），列出方程求解即可．
【解答】解：（1）每件商品降价x元后，可售出商品件（500+20x）件；
故答案为：（500+20x）；
（2）根据题意得：（50﹣x）（500+20x）＝28000，
解得x1＝10，x2＝15，
∵尽快清仓，
∴x1＝10舍去，
答：x的值为15；
（3）（50﹣x）（500+20x）＝30000整理得：x2﹣25x+250＝0，
b2﹣4ac＝625﹣1000＜0，方程无解，
所以总利润不能达到30000元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
55．已知2是方程x2﹣c＝0的一个根，求常数c的值及该方程的另一根．
【分析】将x＝2代入方程求出c的值，再利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：将x＝2代入x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
所以方程为x2﹣4＝0，
则x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
所以c＝4，另一个根为x＝﹣2．
【点评】本题主要考查方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
56．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．

【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33﹣2x+2）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，33﹣2x+2＝15＜18，
当x2＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．

（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33﹣2x+2）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
57．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为　32　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价6元，则平均每天可多售出3×4＝12件，即平均每天销售数量为20+12＝32件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为20+4×3＝32件．
故答案为：32；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
解得：x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
58．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得
40×（1﹣x）2＝32.4，
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得
（40﹣30﹣y）（×4+48）＝512，
解得：y1＝y2＝2．
答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，这种价格问题主要解决价格变化前后的关系，列出方程，解答即可．
59．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
60．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，以维护老百姓的利益．某种药品原价400元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖324元/瓶．求该种药品平均每次降价的百分率．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x，
由题意得：400（1﹣x）2＝324，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去），
∴x＝0.1＝10%，
答：该种药品平均每次降价的百分率为10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．