专练14（二次函数压轴大题）中考数学考点必刷题（解析版）

这是一份专练14（二次函数压轴大题）中考数学考点必刷题（解析版），共74页。试卷主要包含了.已知等内容，欢迎下载使用。

专练14（二次函数压轴大题）（30道）
1．.如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）存在．当时，有最大值为；（3）点坐标为或或或．
【解析】
解：（1）抛物线经过点，点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）存在．
当，解得，则，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
（3）抛物线的对称轴为直线，
，
当时，则，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为或
当时，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
设，则，
把代入得，解得，
此时点坐标为，
综上所述，点坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．.在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点C是第一象限内的一点，且，抛物线经过两点，与x轴的另一交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（-1）．
【解析】
解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）．
过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．
∴ OA=CE=2，OB=AE=1．
∴ 点C的坐标为（3,2）．
将点A(2，0)，点C(3，2)代入，
得，，解得．
∴二次函数的解析式为．

（2）AB∥CD．证明如下：
令，解得．
∴ D点坐标为（7,0）．
可求．
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴ AB∥CD．
（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．
∵ B点坐标为（0,1），
∴ 点N到x轴的距离等于1．
可得和．
解这两个方程得．
∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用．
3.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(-1,0)和B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一动点，

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OP，交BC于点D，当SΔCPD:SΔBPD=1:2时，求出点P的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为(0,-1)，点G为x轴正半轴上一点，∠OGE=15°，连接PE，是否存在点P，使∠PEG=2∠OGE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)P(3,23)；(3)P1+172,17-12
【解析】
解：(1)将A(-1,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a-b+3=09a+3b+3=0
解得：a=-1b=2
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.
(2)作DM⊥y轴，垂足为M，

∵SΔCPD:SΔBPD=1:2
∴CDBD=12，CDBC=13，
∵ΔCMD∽ΔCOB，
∴CMCO=CDCB=DMOB=13，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴CM=DM=1，OM=2
∴D(1,2)，
∴直线OD为：y=2x，
由y=-x2+2x+3y=2x得：P(3,23)
(3)设PE交x轴于H点，
∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE
∴∠PEG=30°，
∵∠OEG=75°，
∴∠OEH=75°-30°=45°，
∴∠OHE=∠OEH=45°，
∴OH=OE，
∵E(0,-1)，
∴OH=OE=1，
∴ H(1,0)，
∴直线PE为：y=x-1，
由y=-x2+2x+3y=x-1得：x1=1+172y1=17-12，x1=1-172y1=-17-12
∵点P在第一象限，
∴P1+172,17-12.

【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等知识点，难度不大．
4．.已知：如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为顶点．
求抛物线解析式及点D的坐标；
若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式；
如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．


【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】
抛物线与x轴交于，两点，
．
，
抛物线的顶点坐标为．
过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．
以AB为直径的如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了．
如图所示：以AB为直径作，作QD与相切，则，过Q作．

，，
．
．
又，
．
，
，
．
点Q的坐标为．
设l的解析式为，则，解得：，，
直线l的解析式为．
由图形的对称性可知：当直线l经过点时，直线l与相切，
则，
解得：，，
直线l的解析式为．
综上所述，直线l的解析式为或．
如图所示：取M使，连接．

，，，
，
．
又，
∽，
．
．
，
当M、、B在一条直线上时，有最小值，
的最小值．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，主要用到了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、切线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是确定出取得最小值的条件．
5．.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1），点D坐标为（3，2）（2）P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）（3）存在，（），（）
【解析】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，解得：．
∴抛物线解析式为．
当y=2时，，解得：x1=3，x2=0（舍去）．
∴点D坐标为（3，2）．
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2）．
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2．
代入抛物线的解析式：，解得：．
∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）．
综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）．
（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方．
设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（），
①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，

PQ=．
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，
∴，即，解得F Q′=a﹣3
∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，
．
此时a=，点P的坐标为（）．
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，＜0，CQ=﹣a，（无图）
PQ=．
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°．
∴△COQ′∽△Q′FP．
∴，即，解得F Q′=3﹣a．
∴OQ′=3，．
此时a=﹣，点P的坐标为（）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（），（）．
（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标．
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
6．.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.

（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【解析】
（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.

（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
7．.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）PG=；（3）存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．
【解析】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，），G（m，4）.
∴PG=.
（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵，∴当y=0时，，解得x=1或﹣3.
∴D（﹣3，0）．
当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=.
∴直线BD的解析式为y=x+4. ∴H（m，m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么，即.
由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.
②如果△PGB∽△DEH，那么，即.
由﹣3＜m＜0，解得m=．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．
考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.由实际问题列代数式；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用．
8．.如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点.

（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点的坐标并求直线的表达式；
（3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标.
【答案】（1）；（2），；（3）点、的坐标分别为或、或．
【解析】
解：（1）函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）、，则点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（3）设点、点，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
即：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
故点、的坐标分别为，或、，或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.
9．.已知：如图，抛物线的顶点为A（0，2），与x轴交于B（﹣2，0）、C（2，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点P是抛物线y上的一个动点，连接PO并延长至点Q，使OQ＝2OP．若点Q正好落在该抛物线上，求点P的坐标；
（3）设点P是抛物线y上的一个动点，连接PO并延长至点Q，使OQ＝mOP（m为常数）；
①证明点Q一定落在抛物线上；
②设有一个边长为m+1的正方形（其中m＞3），它的一组对边垂直于x轴，另一组对边垂直于y轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线和组成的封闭图形上，求线段PQ被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q的坐标．

【答案】（1）（2）（，1）（-，1）（3）①见解析②当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q的坐标为（2+，-5-4）或（-2-，-5-4）．
【解析】
解：（1）由条件可设抛物线y1＝ax2+2，将C（2，0）代入
可得抛物线；
（2）如图，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴

设点P（t，），
利用△PEO∽△OFQ可求得点Q（﹣2t，t2﹣4）．
把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，
得：t2﹣4＝，
∴3t2＝6，
∴t=±，
∴P1（，1），P2（，1）；
（3）①证明：设点P（t，），
利用相似可求得点Q（﹣mt，）．
将x＝﹣mt代入中，
得：．
∴点Q一定落在抛物线上；
②如图所示

∵正方形的边长为m+1，
由抛物线的对称性可知
正方形右边两个顶点横坐标为，
将x＝代入抛物线解析式
可得两点纵坐标分别为：和，
∴-＝m+1，
解得：．
∵m＞3，
∴.
∴正方形右边两个顶点横坐标为，
将x＝代入得：
，
∴正方形右下顶点的纵坐标为．
∴正方形右下顶点的坐标为（），
同理，正方形左下顶点的坐标为（，）．
设PQ与y轴所成的角为α，当PQ与正方形上下两边相交时，
PQ被正方形上下两边所截线段的长，
当α增大时，cosα减小，增大，
当PQ经过正方形右下顶点时，α最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q与正方形右下或左下顶点重合；
当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ被正方形上下两边所截线段的长减小，
综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，
此时点Q的坐标为（）或（，）．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、抛物线的性质，计算量较大，本题将正方形与抛物线很好的结合起来，是一道很典型的数形结合压轴题．
10．.如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（3，0）、C三点．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ∥y轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE．若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），；（3）.
【解析】
（1）将 代入 得： ，
解得 ，
抛物线解析式；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为，
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为，
设，则，可分三种情况考虑：
①当时，由题意得P、Q关于x轴对称，
∴，
解得：（舍去），
∴ ，
②当时， ，
∴ ， （舍去）， ，
∴，
③当时，有 ，
整理得： ，
解得 ．
∴ ．
综合以上可得P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），；
（3）∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
又∵ ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ .
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及解方程是解题的关键．
11．.已知抛物线（，是常数，且），经过点，，与轴交于点.
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点是射线上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点，设点横坐标为，线段的长为，求出与之间的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点在线段上时，设，已知，是以为未知数的一元二次方程（为常数）的两个实数根，点在抛物线上，连接，，，且平分，求出值及点的坐标.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）值为，点坐标为或.
【解析】
解：（Ⅰ）将代入，
得解得
∴抛物线的解析式为；
（Ⅱ）∵点的坐标为，
设直线的方程为，
将代入，得.
解得.
∴直线的方程为.
∵点的横坐标为，且垂直于轴，
∴点的坐标为，点的坐标为.
①如图，当点在线段上时，

.
②如图，当点在射线上时，

.
∵，
∴
（Ⅲ）∵是的两个实数根.
∴，即.
整理得：.
∴.
∴.
∴方程为.
解得.
∵与是的两个实数根，
所以.
即.
∴.
如图，延长至，使，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴是菱形.
∴.
∴点的纵坐标与点纵坐标相等，都是.
在中，当时，.
∴.
解得.
综上所述：值为，点坐标为或.

【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，根的判别式的运用，一元二次方程的解法的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
12．.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．
【解析】
解：
（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得，得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，
把点（3，0）代入y=kx+3，中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，-m+3），
∴MN==-m+3-(m2-4m+3)=-（m-）2+.
∴当m=时，MN最大=.
（3）由（2）可得：当m=时，点N的坐标为（，），
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴可设点P坐标为（2，n）,
∴PB=，PN= ,
BN== ,
若为等腰三角形，则存在以下三种情况：
①当时，即=解得： ，此时点的坐标为(2，)；
②当时，即= ，解得： ，
此时点的坐标为(2，-)或(2，)；
③当时，即=，解得： ，
此时点的坐标为(2,)或(2,)．
综上可知：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，点P的坐标为(2，),(2，-),(2，),(2,),(2,)．
点睛：解本题第2小题时，当利用设出的点P的坐标和已知的点B、N的坐标表达出线段PB、PN和BN的长度时，需注意题目中没有指明△PBN为等腰三角形时的底和腰，因此要分：（1）PB=PN；（2）PB=BN；（3）PN=BN三种情况分别讨论计算，不要忽略了其中任何一种情况，避免丢解.
13．.如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为2，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在点T的运动过程中，
①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；
②若MT＝AD，求点M的坐标；
（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，）（3）见解析
【解析】
解：（1）把点B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
则该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∠DMT的度数是定值．理由如下：
如图1，连接AD．
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
又∵点D的纵坐标为2，
∴D（1，2）．
由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
在Rt△AED中，tan∠DAE＝．
∴∠DAE＝60°．
∴∠DMT＝2∠DAE＝120°．
∴在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值；
②如图2，∵MT＝AD．又MT＝MD，
∴MD＝AD．
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，
∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝AD．
∵A（﹣1，0），D（1，2），
∴点M的坐标是（0，）．
（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝AT．
又HT＝a，
∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．
∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动，
∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．
∴0≤a﹣1≤2a﹣1．
∴a≥1，
∴2a﹣1≥1．
（i）当，即1时，
当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；
当x＝1时，y最小值＝4．
（ii）当，即＜a≤2时，
当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．
当x＝1时，y最小值＝﹣4．
（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，
当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．
当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．



【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
14．.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，直线l：y=kx+t（k≠0）经过A，C．

（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF≌△AED时，求出点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，Q的坐标为：或或或或．
【解析】
（1）把点A、C的坐标和对称轴表达式代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2x+2；
同理把点A、C坐标代入直线l表达式并解得：yx+2；
（2）设P点坐标为（n，n2n+2），∴E点坐标为（n，n+2），∴PEn2n+2n﹣2，DEn+2．
∵A（﹣4，0），C（0，2），OA=4，OC=2，AC=2．
∵PD⊥x轴于点D，∴∠ADE=90°，∴sin∠EAD=sin∠CAO，，∴AEDE（n+2），当△PEF≌△AED时，PE=AE，n2﹣2n（n+2），解得：n=﹣4或（舍去﹣4），∴n=，∴P（，）；
（3）存在，理由如下：

①以A为顶角顶点，AQ=AC，由（2）知AC=2，若设对称轴与x轴交于点G，则AG（﹣4）；
GQ1=GQ2，故点Q1、Q2的坐标分别为（，）、（，）；
②以C为顶角顶点，CQ=CA=2，过点C作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点M，则M（，2），则CM，MQ3，Q3G=2，Q4G=﹣2，故Q3、Q4坐标分别为（，2）、（，2）；
③以点Q为顶角顶点时，同理可得点Q5（，0）；
故点Q的坐标为：（，）或（，）或（，2）或（，2）或（，0）．
【点睛】
本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、等腰三角形性质、三角形全等和相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
15．.如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点

求m的值及C点坐标；
在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
点P的横坐标为，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．
【答案】，；存在，；或；当时，.
【解析】
解：（1）将B（4，0）代入，解得，m=4，
∴二次函数解析式为，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，
∴，
∴，
∴△=16﹣4b=0，∴b=4，
∴，∴M（2，6）；
（3）①如图，∵点P在抛物线上，
∴设P（m，），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4），
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴m=，
∴m=，
∴P（，）或P（，）；

②如图，设点P（t，），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，
∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），
∵PD=﹣（﹣t+4）=，BE+CF=4，
∴S四边形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD=
∵0＜t＜4，
∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16．

考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．
16．.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第四象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t．
①求线段MN的长d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
②点Q是平面内一点，是否存在一点P，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①；②存在，t＝1或．
【解析】
（1）由直线y＝x﹣3过B，C两点，得B（3，0），C（0，﹣3），
将点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，
得
解得
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①对于y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0）
∴OA＝1，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠BCO＝45°，AC＝，AB＝4．
连接AM．
∵PD⊥x轴于点D，
∴∠DMB＝∠GBM＝45°．
又∵点P的横坐标为t，
∴DM＝DB＝3﹣t．
∵S△ABC＝S△AMC+S△AMB，
∴
即
∴
②存在，t＝1或，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
过点C作CE⊥PD于点E．
如图（1），当BC为矩形的边时，
由∠BCP＝90°，∠BCE＝45°，可得∠EPC＝∠ECP＝45°，
∴PE＝CE＝t，
∴P（t，﹣3﹣t）．
将P（t，﹣3﹣t）代入y＝x2﹣2x﹣3，
得﹣3﹣t＝t2﹣2t﹣3，
解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝1．
如图（2），当BC为矩形的对角线时，
∵∠PCE+∠CPE＝90°，∠CPE+∠BPD＝90°，
∴∠PCE＝∠BPD，
∴△CPE∽△PBD，
∴，即CE•BD＝PE•PD．
∵点P的横坐标为t．
∴CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），
故t（3﹣t）＝t（t﹣2）•（t+1）（t﹣3），
整理，得t2﹣t﹣1＝0，
解得（不合题意，舍去）．
综上可知，t的值为1或．

【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、矩形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
17．.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1， △BCE的面积为S2， 求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）（2）①的最大值是，②﹣2或﹣.
【解析】
（1）解：根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴ ，
∴ ，
∴y=﹣x2﹣x+2；
（2）解：①令y=0，即，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴B（1，0），
如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴ = = ，
设D（a，），
∴M（a，a+2），
∵B（1.0），
∴N（1，），
∴ = = （a+2）2+ ；
∴当a=－2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2 ，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴P（﹣，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图，

∵∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即，
令D（a，），
∴DR=﹣a，RC=，
∴ ，
∴a1=0（舍去），a2=﹣2，
∴xD=﹣2，
情况二，∵∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC= ，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC= ，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k，
∴RC= k，RG=k，
DR=3k﹣k=k，
∴ = = ，
∴a1=0（舍去），a2=，
点D的横坐标为﹣2或﹣．
18．.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
【解析】
解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6 ∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．
19．.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）请直接写出A、B、C三点的坐标：
A B C
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q 从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动的时间为t(秒)，
① 当t为何值时，BP＝BQ？
② 是否存在某一时刻t，使△BPQ是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A(−2，0) ，B(4，0)， C(0，)；（2）t=；（3）t=或t=
【解析】
（1）令y=0，则，
解得：x1=-2，x2=4
∴A（-2,0），B（4,0）
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）；
（2）①∵A（-2,0），B（4,0）
∴AB=6
∴BP=6-3t，BQ=t，
∵BP=BQ，
∴6-3t =t，
解得：t=；
②如图，

在Rt△OBC中，cos∠B=，
设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，
∴PB=6-3t，
当∠PQB=90°时，cos∠B=，即，
化简，得17t=24，
解得t=；
当∠BPQ=90°时，cos∠B=，
化简，得19t=30，
解得t=，
综上所述：t=或t=时，以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，三角函数和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
20．.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．
【解析】
解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴，解得，
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=
，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则，
解得或，
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则，
解得或，
∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
21．..如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．
（1）若△ABC的面积为8，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．

【答案】(1)m=2;(2);(3) Q点的横坐标为2.
【解析】
(1) y＝x2＋(m－2)x－2m＝(x＋m)(x－2)，
令y＝0，则(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2，
∴A(－m，0)、B(2，0)，
令x＝0，则y＝－2m，
∴C(0，－2m)，
∴AB＝2＋m，OC＝2m.
∵S△ABC＝×(2＋m)×2m＝8，
解得m1＝2，m2＝－4，
∵m＞0，
∴m＝2；
(2) 过点D作DF∥y轴交BC于F，
由(1)可知：m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4，
∴B(2，0)、C(0，－4)，
∴直线BC的解析式为y＝2x－4.
设D(t，t2－4)，则F(t，2t－4)，
∴DF＝2t－4－(t2－4)＝－t2＋2t，OC＝4，
∵DF∥y轴，
∴＝＝＝－(t－1)2＋，
当t＝1时，有最大值为，此时D(1，3)；

(3) 设M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，
联立，整理得x2＋(m－2－k)x－2m－b＝0，
∴x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b，
设点Q的横坐标为n，则Q(n，kn＋b)，
过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L，
∵MA∥PH，
∴△MKA∽△QLH，
∴＝，
即，整理得kx1x2＋b(x1＋x2)＋kmn＋bm－bn＝0，
∴k(－2m－b)＋b(2＋k－m)＋kmn＋bm－bn＝0，
∴(km－b)(n－2)＝0，
②km－b＝0，此时直线为y＝k(x＋m)，过点A(－m，0)，不符合题意，
②当n－2＝0，此时n＝2，Q点的横坐标为2.

【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，利用二次函数求最值，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，涉及的知识点多，难度较大，是中考压轴题.
22．.如图，抛物线y=﹣（x+m）（x﹣4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，过点B的直线y=x+b交y轴于点D．

（1）求点D的坐标；
（2）把直线BD沿x轴翻折，交抛物线第二象限图象上一点E，过点E作x轴垂线，垂足为点F，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，若四边形BDEP为平行四边形，求m的值及点P的坐标．
【答案】（1）D（0，﹣2）；（2）AF=1；（3）m=3，P（2，5）.
【解析】
解：（1）∵抛物线y=-（x+m）（x-4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右）
当y=0时，0=-（x+m）（x-4），
∴x1=-m，x2=4
∴A（-m，0），B（4，0）
∵点B在直线y=x+b上，
∴4×+b=0，b=-2
∴直线y=x-2，
当x=0时y=-2
∴D（0，-2），
（2）设E（t，-（t+m）（t-4）），
∵EF⊥x轴，
∴∠EFO=90° EF∥y轴，
∴F（t，0），
由（1）可知D（0，-2）B（4，0），
∴OD=2 OB=4，
∴在Rt△BDO中，tan∠DBO=，
∵直线BD沿x轴翻折得到BE，
∴∠DBO=∠EBF，
∴tan∠DBO=tan∠EBF，
∴tan∠EBF=，
∴，
∴BF=2EF，
∴EF=-（t+m）（t-4）BF=4-t
∴4-t=2×[-（t+m）（t-4）]
∴t+m=1，
∴AF=t-（-m）=t+m=1，
∴AF=1，
（3）如图，

过点E作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线交于点Q
设EP交y轴于点M
∵四边形BDEP是平行四边形
∴EP∥DB EP=DB
∵EP∥DB PQ∥y轴，
∴∠EMD=∠ODB∠EMD=∠EPQ，
∴∠ODB=∠EPQ，
∵∠PQE=∠DOB=90° EP=BD，
∴△PEQ≌△DBO，
∴PQ=OD=2 EQ=OB=4，
∵E（t，-（t+m）（t-4）），
∴P（t+4，-（t+m）（t-4）+2），
∵P（t+4，-（t+m）（t-4））+2）在抛物线 y=-（t+m）（t-4）上
∴-（t+4+m）（t+4-4）=-（t+m）（t-4）+2
∵t+m=1，
∴t=-2，
∵t+m=1，
∴m=3，
∴-（t+m）（t-4）+2=5，
∴P（2，5）
23．.如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=2x2﹣3x；（2）C（1，﹣1）；（3）（，）或（﹣，）．
【解析】
（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C（1，﹣1）；

（3）存在．设MB交y轴于点N，
如图2，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中，
∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO，
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为，联立直线BN和抛物线解析式可得：，解得：或，
∴M（，），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时
，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，如图3
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴
∵M（，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（，）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．

【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．
24．.在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．
【答案】（1）．（2）①；②或．
【解析】
解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点，∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），又∵抛物线过A，C两点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）①如图1∵，
∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4．∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=﹣1对称，
∴P点的横坐标是﹣3，
∴当x=﹣3时，，
∴P点的坐标是；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，∴．
又∵，
∴，
设点F（x，x+4），
∴，
化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．
当x=﹣1时，；当x=﹣3时，，
即P点坐标是或．
又∵点P在直线y=kx上，∴或．

25．.如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（，），对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．
【解析】
解：①如图1，
∵顶点M的坐标是，
∴设抛物线解析式为y＝（a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，
∴点B的坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线的解析式为：y＝＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝的对称轴是直线x＝，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N的坐标是．
∴．
设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
∵PD∥MN．
当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝．
解得 m1＝（舍去），m2＝．
此时P（，1）．
∵PN＝，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形．
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在，理由如下：
设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），
∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，
∴P（n，﹣2n+4）．
由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB•OA＝×4×2＝4．
则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．
S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）
＝yD﹣yP
＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2．
当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．
此时点D的坐标是（1，4）．

【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5
【解析】
解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB




∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：≤m≤5．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是中考的必考题型，考生在解此类问题时一定要注意分析求最大值和最小值所需要函数解决的问题．
27．.如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与的面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且只有一点，使，求的值.

【答案】（1）.；（2）点坐标为；.（3）.
【解析】
（1）由题可得：解得，，.
二次函数解析式为：.
（2）作轴，轴，垂足分别为，则.

，，，
，解得，，.
同理，.
，
①（在下方），，
，即，.
，，.
②在上方时，直线与关于对称.
，，.
，，.
综上所述，点坐标为；.
（3）由题意可得：.
，，，即.
，，.
设的中点为，
点有且只有一个，以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点.
轴，为的中点，.
，，，
，即，.
，.
点睛：此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．
28．.如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），点C坐标（0，2）；（2）；（3）M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．
【解析】
解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣）
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．
（3）如图所示，

①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN==，
∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．
②当M3为顶点时，
∵直线AC解析式为y=﹣x+2，线段AC的垂直平分线为y=x，
∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．
③当点A为顶点的等腰三角形不存在．
综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．
“点睛”本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
29．.如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【解析】
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，解得，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图），
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）
∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD===，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴，即=，
解得DP=，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则，即,
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（，﹣2）；
②当OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴，即=，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则，即，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.一次函数与二次函数综合题.
30．.如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．
【解析】
（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得，解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；
②∵﹣＜0，
∴当t=时，S取最大值，最大值为．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段BC=，
∴P点到直线BC的距离的最大值为，
此时点P的坐标为（，）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．