专练13（几何压轴大题）中考数学考点必刷题（解析版）

这是一份专练13（几何压轴大题）中考数学考点必刷题（解析版），共63页。试卷主要包含了.正方形中，E是边上一点，等内容，欢迎下载使用。
专练13（几何压轴大题）（30道）
1．.已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．

【答案】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由见解析；（2）结论不变．理由见解析；（3）≤BF．
【解析】
解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）．
当点落在上时，取得最大值，
如图5所示，∵，，，∴，
∵是的中点，∴，
又，
∴，
即的最大值为．

图5
当点落在延长线上时，取得长最小值，
如图6所示，∵，，，∴，
∵是的中点，∴，
又，
∴，
即的最小值为．

图6
综上所述，．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．.正方形中，E是边上一点，
（1）将绕点A按顺时针方向旋转，使重合，得到，如图1所示.观察可知：与相等的线段是_______，______.
（2）如图2，正方形中，分别是边上的点，且，试通过旋转的方式说明：
（3）在（2）题中，连接分别交于，你还能用旋转的思想说明.

【答案】（1）BF，AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
(1)、∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°， 即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ；
(3)、∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°，
如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，
则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK为直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2， ∴BM2+DN2=MN2．

考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质．
3．.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.
(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PB·PA,求证:PC是☉O的切线;
(2)求证:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半径是,求tan∠AEC和OH的长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) tan∠AEC=，OH =1.
【解析】
(1)证明:∵PC2=PB·PA,∴=,
∵∠BPC=∠APC,∴△PBC∽△PCA,
∴∠BAC=∠PCB,连接OC,如图所示,

∵AO=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠ACO=∠PCB.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∴∠BCO+∠PCB=90°,∴∠PCO=90°.
∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
(2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCB=45°.
∵AE⊥CD,∴∠CAE=45°=∠FCB.
在△ACE与△CFB中,
∠CAE=∠FCB,∠AEC=∠FBC,
∴△ACE∽△CFB,∴=,
∴CF·AE=AC·BC.
(3)作FM⊥AC于M,FN⊥BC于N,CQ⊥AB于Q,延长AE、CB交于点K.

∵CD平分∠ACB,∴FM=FN.
∵S△ACF=AC·FM=AF·CQ,
S△BCF=BC·FN=BF·CQ,
∴==,
∴=.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°且tan∠ABC=.
∵=且∠AEC=∠ABC,
∴tan∠AEC=tan∠ABC==.
设AC=3k,BC=2k,
∵在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=2,
∴(3k)2+(2k)2=(2)2,∴k=2(k=-2舍去),
∴AC=6,BC=4,
∵∠FCB=45°,∠CHK=90°,
∴∠K=45°=∠CAE,
∴HA=HC=HK,CK=CA=6.
∵CB=4,∴BK=6-4=2,
∵OA=OB,HA=HK,
∴OH是△ABK的中位线,∴OH=BK=1.
【点睛】
此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用．
4.如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：
①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ，请证明你的猜想；
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析．
【解析】
解：（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分别为AD，AB中点，
∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中，
∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．
（2）DE=EF，理由如下：
在DA边上截取DN=EB，连接NE，
∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF．

【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明△DNE与△EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键．
5．.（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　 　
（2）（拓展研究）
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）（问题发现）
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）﹣1或+1．
【解析】
解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根据勾股定理得，BC=AB=2，
点D为BC的中点，∴AD=BC=，
∵四边形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，
∵BE=AB=2，∴BE=AF，
故答案为BE=AF；
（2）无变化；
如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，
由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．

6．.如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．

（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、、，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【解析】
解：（1）∵点、是、的中点
∴，
∵点、是、的中点
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）结论：是等腰直角三角形．
证明：由旋转知，
∵，
∴
∴，
∵由三角形中位线的性质可知，，
∴
∴是等腰三角形
∵同（1）的方法得，、
同（1）的方法得， 、
∴
∴





∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（3）∵由（2）得，是等腰直角三角形，

∴最大时，的面积最大
∴且在顶点上面时，，连接AM，AN，如图：

∵在中，，
∴
∵在中，，
∴
∴
∴．
故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为
【点睛】
本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强．
7.已知：在中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作，交BE的延长线于F，连接CF．
求证：四边形ADCF是平行四边形；
填空：
当时，四边形ADCF是______形；
当时，四边形ADCF是______形

【答案】（1）见解析；（2）①矩；②菱.
【解析】
证明：，
在和中
，
≌

．
又，
四边形ADCF为平行四边形；
当时，四边形ADCF是矩形；
当时，四边形ADCF是菱形．
故答案为矩，菱．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出≌是解题关键．
8．.如图，矩形中，，，点在边的延长线上，连接，过点作的垂线，交于点，交边的延长线于点.

（1）连接，若，求证：四边形为菱形；
（2）在（1）的条件下，求的长；
（3）设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）；（3），.
【解析】
解：（1）证明：∵BD=BE，BM⊥DE∴∠DBN=∠EBN
∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC
∴∠ DNB=∠EBN∴∠DBN=∠DNB
∴BD=DN
又∵ BD=BE∴BE=DN又∵AD∥BC∴四边形DBEN是平行四边形
又∵BD=BE ∴平行四边形DBEN是菱形

（2）由（1）可得，BE=BD==10∴CE=BE-BC=2
∴在Rt△DCE中，DE==2
由题意易得∠MBC=∠EDC，又∠DCE=∠BCD=90°
∴△BCM∽△DCE
∴∴∴BM=
（3）由题意易得∠BNA=∠EDC，∠A=∠DCE=90°
∴△NAB∽△DCE
∴
∴
∴y=，其中0