初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试习题

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2021-2022学年苏科版八年级数学上册
第3章《勾股定理》期末综合复习题2
1．若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或
2．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（　　）
A．12cm B．（8+）cm
C．12cm或（8+）cm D．11cm或13cm
3．下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．1，，2 B．5，12，13 C．5，6，7 D．7，24，25
4．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）

A．45° B．40° C．30° D．25°
5．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝，b＝，c＝2
7．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（　　）
A． B．13 C． D．25

8．如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝DC，且AD＝2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF（图中阴影部分）的面积之和等于（　　）

A．8 B．4 C．4 D．2
9．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　）

A．2，1 B．1， C．2， D．2，
10．在四边形ABCD中，，DA＝1且AB⊥BC，则四边形ABCD的面积（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，DE为AB的垂直平分线，AE＝，则CE的长为 　 　．

12．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点M在三角形ABC边上，点M到三角形另外两边的距离相等，求MC的长　 　．
13．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是　 　．

14．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　 　米．（精确到0.01米）

15．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 　 　米之外才是安全的．
16．如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，则AD＝　 　．

17．如图，已知四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，且∠AOD＝90°，若BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，四边形ABCD的周长是　 　．

18．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．

19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°．
（1）当AB＝5，BC＝　 　时，点B在∠ADC的平分线上；
（2）若AB＝AD，BC+CD＝m．
①当BC•CD＝8，m＝6时，求AB的长；
②求四边形ABCD的面积（用含m的代数式表示）．

20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB上的高；
（2）①当点P在CB上时，CP的长为　 　．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为　 　．
（3）在整个运动中，直接写出△BCP是等腰三角形时t的值．



22．如图，AD⊥BC，垂足为D．CD＝1，AD＝2，BD＝4．
（1）求∠BAC的度数？并说明理由；
（2）P是边BC上一点，连接AP，当△ACP为等腰三角形时，求CP的长．

23．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．

24．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长；
（3）判断△ABC的形状．


参考答案
1．解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
2．解：5cm是直角边时，第三边＝（cm），
所以，这个直角三角形的周长＝3+5+＝（8+）cm．
故选：B．
3．解：A、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+62≠72，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
4．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．

5．解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣1×3﹣2×3＝，
∴AC•BD＝，
∴•BD＝7，
∴BD＝，
故选：D．
6．解：A、由题意知，a2+c2＝b2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、由题意知，∠A＝∠B＝（180°﹣45°）÷2＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、由题意知∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、由题意知，a2+c2＝b2＝7，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．解：设h为斜边上的高，
∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，
∴斜边为＝10，
∵三角形的面积＝×6×8＝×10h，
∴h＝．
故选：C．
8．解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝DC，AD＝2，
∴AC2+DC2＝AD2＝8，
∴AC＝CD＝2，
∴S△ACD＝AC•DC＝2，
∴S阴影＝π（）2+S△ACD﹣π（）2
＝π+2﹣π
＝2，
故选：D．
9．解：∵小正方形和大正方形的面积分别是1和5，
∴S△ADE＝，EF＝1，
设直角三角形两条直角边为a，b（a＜b），
∴ab＝2，a2+b2＝5，b﹣a＝1，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝5+4＝9，
∵a+b＞0，
∴a+b＝3，
∵b﹣a＝1，
∴a＝1，b＝2，
故选：A．
10．解：∵AB⊥CB，AB＝CB＝，
∴AC＝＝＝2，
∵CD＝，DA＝1，
∴CD2＝DA2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°；
∴S△ABC＝AB•BC，S△DAC＝AD•AC，
∵AB＝CB＝，DA＝1，AC＝2，
∴S△ABC＝××＝1，S△DAC＝＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC＝2．
故选：B．
11．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即52＝42+BC2，
∴BC＝3，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝BC+CE＝3+CE，
∵AE＝，
∴CE＝﹣3＝．
故答案为：．
12．解：∵直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，
∴AB＝＝20，
①如图1，当点M在斜边AB上时，

根据题意可知：
MD⊥AC，ME⊥BC，MD＝ME，
∴∠MDC＝∠MEC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CDME是正方形，
设正方形CDME的边长为x，
∵S△ACM+S△CBM＝S△ABC，
∴AC•DM+BC•ME＝AC•BC，
∴12x+16x＝12×16，
解得x＝，
∴MC＝x＝；
②如图2，当点M在AC边上时，

根据题意可知：
MD⊥AB，MD＝MC，
∴∠ADM＝∠C＝90°，
连接BM，
在Rt△BDM和Rt△BCM中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△BCM（HL），
∴BD＝BC＝16，
∴AD＝AB﹣BD＝20﹣16＝4，
在Rt△ADM中，AM＝AC﹣MC＝12﹣MC，MD＝MC，
根据勾股定理，得
AM2＝AD2+DM2，
∴（12﹣MC）2＝42+MC2，
解得MC＝；
③如图3，当点M在BC边上时，

根据题意可知：
MD⊥AB，MD＝MC，
∴∠ADM＝∠C＝90°，
连接AM，
在Rt△ADM和Rt△ACM中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△ACM（HL），
∴AD＝AC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8，
在Rt△BDM中，BM＝BC﹣MC＝16﹣MC，MD＝MC，
根据勾股定理，得
BM2＝BD2+DM2，
∴（16﹣MC）2＝82+MC2，
解得MC＝6；
综上所述：MC的长为：或或6．
13．解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6≤a≤16.6．
故答案为：15.6≤a≤16.6．
14．解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为2+0.2×2＝2.4米；宽为1米．
于是最短路径为：＝2.60米．
故答案为：2.60．

15．解：如图，

BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4．
16．解：BC＝14，且BC＝BD+DC，
设BD＝x，则DC＝14﹣x，
则在直角△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即132＝AD2+x2，
在直角△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
即152＝AD2+（14﹣x）2，
整理计算得x＝5，
∴AD＝＝12，
故答案为 12．
17．解：在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2＝122；
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2＝92；
在Rt△AOD和Rt△COB中，
∵BC＝2AD，∴＝2，
整理计算得：＝，
所以AD＝，BC＝2AD＝，
所以四边形ABCD的周长为9+12++＝21+．
故答案为21+．
18．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，
∴满足BD2+CD2＝BC2，
∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，
即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，
由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得x＝，
∴腰长为cm．

19．解：（1）∵∠DAB＝∠BCD＝90°，
当BC＝AB＝5时，点B在∠ADC的平分线上，
即当AB＝5，BC＝5时，点B在∠ADC的平分线上；
故答案为：5；
（2）①当m＝6时，BC+CD＝6，
∴BC2+2BC•CD+CD2＝36，
∵BC•CD＝8，
∴BC2+CD2＝20，
由勾股定理得：BD＝＝＝2，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AB2+AD2＝（2）2，
∴AB＝（负值舍去）；
②∵∠DAB＝∠BCD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，
∴BC2+CD2＝2AB2，
∵BC+CD＝m，
∴（BC+CD）2＝m2，即BC2+2BC•CD+CD2＝m2，
∵四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
＝AB•BD+BC•CD
＝AB2+BC•CD
＝（BC2+CD2+2BC•CD）
＝（BC+CD）2
＝m2．
20．解：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．

21．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．
设斜边AB上的高为h，
∵AB•h＝AC•BC，
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：

∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D＝P'C＝2t﹣4，
∵BC＝3，
∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，
，
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），
∴AD＝AC＝4，
又∵AB＝5，
∴BD＝1，
在Rt△BDP'中，由勾股定理得：
12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，
解得：t＝．
故答案为：．
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP＝BC＝3，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP＝4+3+3＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴5CH＝4×3，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝＝1.8，
∴BP＝3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，
∴2t＝10.6，
∴t＝5.3；
若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，

则BQ＝CQ＝0.5×BC＝，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝0.5×AC＝0.5×4＝2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝2.5，
点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5，
∴2t＝9.5，
∴t＝4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．
22．解：（1）∠BAC＝90°；理由：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°；
由勾股定理可得 AC2＝AD2+CD2＝12+22＝5，AB2＝AD2+BD2＝22+42＝20；
∴AC2+AB2＝25；
∵BC2＝（BD+CD）2＝52＝25；
∴AC2+AB2＝BC2；
∴△ABC是直角三角形；
∴∠BAC＝90°；
（2）当△ACP为等腰三角形时，有三种情况：
①当AC＝AP时，CP＝2CD＝2；
②当AC＝CP时，∵AC＝，∴CP＝；
③当CP＝AP时，CP＝＝2.5；
因此，当△ACP为等腰三角形时，CP的长为2或或2.5．
23．解：延长AD到E使AD＝DE，连接CE，

在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝6，AE＝12，
在△AEC中，AC＝13，AE＝12，CE＝5，
∴AC2＝AE2+CE2，
∴∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝，
∴BC＝2CD＝2，
答：BC的长是2．
24．解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，
所以BD2+CD2＝BC2．
所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．
所以CD＝12．
（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，
所以CD2+AD2＝AC2．
所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．
所以AD＝16．
所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．
（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
所以AB2＝BC2+AC2．
所以△ABC是直角三角形．