2023年湖南省永州市高三第一次适应性考试数学卷及答案（文字版）

永州市2023年高考第一次适应性考试试卷

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知平面向量满足，则在方向上投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ）

A. 4 B. 7 C. 16 D. 31

5. 现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知椭圆分别为其左､右焦点，过作直线轴交椭圆于两点，将椭圆所在的平面沿轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后两点的对应点分别为，记.若，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 分别是正方体的棱的中点，则（    ）

A. 平面 B.

C. 直线与直线相交 D. 与平面所成的角大小是

10. 对于函数，则（    ）

A 有极大值，没有极小值

B. 有极小值，没有极大值

C. 函数与的图象有两个交点

D. 函数有两个零点

11. 抛物线，点在其准线上，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 有可能是钝角

C. 当直线的斜率为时，与面积之比为3

D. 当直线与抛物线只有一个公共点时，

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为

B. 关于的方程有个不同的解

C. 对于实数，不等式恒成立

D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，的系数是___________.

14. 已知两圆与交于两点，则直线的方程为___________.

15. 函数的最大值是___________.

16. 在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，为等边三角形，，则四棱锥的外接球球心到平面的距离是___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列满足：，且.

（1）若数列为等比数列，公比为，求的通项公式；

（2）若数列为等差数列，，求的前项和.

18. 如图甲，在边长为4的等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点.

（1）求证：；

（2）当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.

19. 由扇形和三角形组成的平面图形如图所示，已知，，点在扇形的弧上运动.

（1）求值；

（2）求四边形面积的最大值.

20. 我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：

根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.

（1）完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；

（2）从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望；

（3）从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值.

附：，其中.

21. 点在双曲线上，离心率.

（1）求双曲线的方程；

（2）是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

22. 已知，

（1）不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（2）当有两个极值点时，求证：.