2023北京市高三上学期入学定位考试数学试题word含解析

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2022——2023学年北京市新高三入学定位考试
数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：C
2. 在复平面内，下列复数中对应的点在第四象限的是（ ）
A. 1＋i B. 1－i C. －1＋i D. －1－i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数对应点所在象限确定正确答案.
【详解】对应坐标为，在第一象限，不符合题意.
对应坐标为，在第四象限，符合题意，B选项正确.
对应坐标为，在第二象限，不符合题意.
对应坐标为，在第三象限，不符合题意.
故选：B
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数性质估计的取值范围，由此比较的大小
【详解】因为函数为上的增函数，又，所以，
因为函数为上的增函数，又，所以，
因为函数为上的减函数，又，所以，
所以，
故选：B.
4. 在的展开式中，x的系数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式的特征即可求解.
【详解】的展开式中，含x的项为，故x的系数为3，
故选：B
5. 函数的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦二倍角公式化简，然后代入检验法求解对称轴.
【详解】，
当时，，故不是对称轴，
当时，，故不是对称轴，
当时，，故不是对称轴，
当时，，故是对称轴，
故选：D
6. 等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列方程求得，再求解的最小值即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，
因等差数列中，，，
所以，解得，
所以，且时，
所以的最小值为.
故选：A
7. 抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设出P的横坐标为，利用条件列出方程，去掉不合题意的解，求出.
【详解】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，
由抛物线的定义可知：
则，解得：或（舍去），
从而点P的横坐标为1
故选：A
8. 已知向量，不共线，则“”是“，夹角为锐角”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量模长相等可得，进而根据不共线得两向量的夹角为锐角，反之不行，即可判断.
【详解】设，夹角为，
由得，
由于，不共线，则，均为非零向量，且夹角不为0和，因此,进而，
而若“，夹角为锐角”，不一定能满足，因此不一定相等，
故“”是“，夹角为锐角”的充分不必要条件，
故选：A
9. 已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，则下面结论中正确的是（ ）
A. 线段AB长度的最小值为1 B. 线段AB长度的最大值为2
C. 的面积最小值为4 D. 的面积最大值为
【答案】D
【解析】
分析】根据点到直线距离公式，可以把用的函数表示出来，根据均值不等式求解出的范围．利用和弦长的关系，计算出弦长，．进而表达出面积，根据函数求算出面积的范围即可．
【详解】圆心到直线距离，
因为，所以，,
则弦长，
所以A和B均错误；
，
令，则，
因为取不到，所以没有最小值，C错误；
当时，面积最大，为，D正确．
故选：D
10. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（ ）

A. B. 平面
C. D. 是锐角
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.
【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，，
，，
所以，A正确；
因为，平面，平面，
所以平面，B正确；
，
所以，
所以，C正确；

，
当时，，
此时为钝角，故D错误.

故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若函数是偶函数，则实数的值为_____．
【答案】0
【解析】
【详解】解：因为函数是偶函数，则说明b=0
12. 已知双曲线W：（其中）的两条渐近线互相垂直，则______，W的离心率为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求双曲线W的渐近线，由渐近线垂直求，再由离心率定义求W的离心率.
【详解】双曲线W：的渐近线方程为，
因为双曲线W的两条渐近线互相垂直，
所以，又，
所以，设双曲线W的虚半轴长为，焦距为，
则，，
所以离心率，
故答案为：2，.
13. 已知平面向量，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】,
故答案为：0
14. 已知函数，则______；函数的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由正弦函数的导数公式求出其导数，由此可得，利用辅助角公式化简，结合正弦函数性质求其最值.
【详解】因为，所以，又
所以，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以当，时，函数取最大值，最大值为.
故答案为：；.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①存在a，使得函数可能没有零点；
②存在a，使得函数恰好有1个零点；
③存在a，使得函数恰好有2个零点；
④存在a，使得函数恰好有3个零点.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】化简，根据零点定义判断各命题.
【详解】当时，可化为，其中，
此时函数没有零点；
当时，， 此时函数没有零点；
当时，，
令，
当或时，可得，所以，
所以，
若，则，又
所以为方程的解，
当，则，又，且
所以是方程的解，
若，方程没有解；
当时，方程可化为，
所以，
所以，
因为，，
因为，，
所以为方程的解，
综上，时，函数没有零点，①对；
当时，函数恰有一个零点，②对；
当或时，函数恰有两个零点，③对；
所以不存在a，使得函数恰好有3个零点.，④错，
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱中，侧面，都是正方形，∠ABC为直角，，M，N分别为，AC的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，则由三角形中位线定理可得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由题意可得，，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
连接， 在中，
因为是，的中点，
所以∥，
又平面，平面
所以平面.
【小问2详解】
在三棱柱中，
因为侧面都是正方形
所以
又为直角，所以.
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，
设直线与平面所成的角为
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
所以 ，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
17. 已知的面积为12.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.
（1）求b与c的值；
（2）求的值.
条件①：，；条件②：，.
【答案】（1）选条件①，；选条件②，
（2）选条件①；选条件②
【解析】
【分析】(1)若选①，由条件可得，由同角关系可求，根据面积公式求，由余弦定理求，若选②，由同角关系可求，根据面积公式求，由余弦定理求；(2)若选①，由正弦定理求，再求，利用两角差正弦公式求，若选②，由正弦定理求，再求，利用两角差正弦公式求，
【小问1详解】
选条件①
在中，因为，所以，
因为，所以，
因为
所以
由余弦定理
得，；
选条件②
在中，因为，，所以，
因为，
所以，
由余弦定理，
得，
所以 ，
【小问2详解】
选条件①
由正弦定理，所以，
因为，，所以，
所以，所以，
所以 ；
如选条件②，
由正弦定理，
所以，
因为， 所以，
因为，所以，
所以，，所以 ，
所以，
所以，
所以.
18. 某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标





元件甲
12
8
40
33
7
元件乙
17
8
40
28
7

（1）试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；
（2）生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下：
①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；
②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）甲为正品的概率，乙为正品的概率
（2）①；②
【解析】
【分析】(1)用元件甲和元件乙为正品的频率估计生产一件元件甲和生产一件元件乙为正品的概率；
(2)①利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；
②先计算生产一件甲元件的利润和生产一件乙元件的利润，再计算并比较和的大小.
【小问1详解】
由已知100件甲元件的样本中正品的频率为，
100件乙元件的样本中正品的频率为，
所以生产一件元件甲为正品的概率为，
生产一件元件乙为正品的概率为；
【小问2详解】
①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到，
设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件，则．
②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10，
则，，
所以的分布列为：

90
-10
P


，所以
设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20，
则，，
所以的分布列为：

100
-20
P


，所以
所以
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值，极小值
（2）a的取值范围为；
（3）a的取值范围为.
【解析】
【分析】(1)解不等式求单调递增区间，解不等式求单调递减区间，结合单调性求函数的极值；(2)由已知可得方程无解，由此可求a的取值范围；(3) 设，利用导数研究函数的单调性，确定函数的最值，由此可求a的取值范围.
小问1详解】
由， 得.
当时，
令，得
此时，随的变化如下：








0

0


↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的单调递增区间为和
的单调递减区间为
函数在时，取得极大值，
在时，取得极小值.
【小问2详解】
因为不存在斜率为的切线， 所以
即方程无解，所以
解得，
所以a的取值范围为；
【小问3详解】
不等式可化为，
设， ，
设，则
当时，，，又
所以，
函数在上单调递增，
所以当时，，此时，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，
所以时，在上恒成立，
当时，方程的判别式，
因为，所以，所以，
所以方程有两个不相等的实数根，
设其根为，且，则，
所以，
所以当时，，
此时，所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，
所以时，在上不可能恒成立，
综上可得a的取值范围为.
20. 已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点和离心率即可求解,进而得椭圆方程，
（2）联立两直线方程可得坐标，根据中点坐标公式可得,将代入椭圆，即可得斜率，进而由直线方程和椭圆方程联立即可利用弦长公式求解.
【小问1详解】
由题设，得.
又，所以.
所以 ，
所以椭圆的方程为，
【小问2详解】
设，.
由题意可知直线有斜率且不为0，故设直线的方程为，
所以直线的方程为 ，
所以 得
所以
因为点恰好是与的中点，
所以，
因为点在椭圆上，所以
解得，
当时，由，得
所以，所以
同理时，
21. 已知无穷数列满足，其中n＝1，2，3，….对于数列中的一项，若包含的连续项，，…，满足或，则称，，…，为包含的长度为j的“单调片段”.
（1）若，写出所有包含的长度为3的“单调片段”；
（2）若，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式；
（3）若，k≥2，都存在包含的长度为k的“单调片段”，求证：存在，使得时，都有.
【答案】（1）和
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据片段和的定义即可求解，
（2）根据 ，通过推理即可求解，
（3）先根据反证法证：存在，使得，，，…为单调数列，进而根据迭加法证明存在，使得时，都有.
【小问1详解】
，包含的单调片段有两个，为和
小问2详解】
因为，
所以
若，因为包含的“单调片段”长度的最大值为2，则，
所以，，故，.
因为包含的“单调片段”长度的最大值为2，所以且，以此类推，可得到，且，于是.
所以.
若，则同理可得：.
【小问3详解】
首先证明：存在，使得，，，…为单调数列. （*）
假设结论（*）不成立，不妨设，
因为（*）不成立，所以存在，使得且.
若从开始，一直单调递减下去，则与假设矛盾；
所以存在，使得且.
若从开始，一直单调递增下去，则与假设矛盾；
所以存在，使得且.
由可知，
因为存在包含的长度为s的“单调片段”，所以.
考虑，显然包含的最长“单调片段”为，其长度为.
因为，所以，
这与已知：存在包含的长度为的“单调片段”，矛盾.
故假设不成立，结论（*）成立.
当时，同理可证结论（*）成立.
根据结论（*），，，，…为单调数列，
则，的正负号都相同，
于是当时，有


当，时，显然.
综上所述，题目所给结论成立
【点睛】本题考查了数列中的新定义问题，用到了反证法以及迭加法,对于新定义问题，充分理解定义是关键，运用定义中给的约束条件进行推理，对于直接证明比较困难的，常常可采用反证法或者数学归纳法的方式，推理能力要求较高.