初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线优秀练习题

2022-2023年沪科版数学八年级上册15.4

《角的平分线》课时练习

一              、选择题

1.如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（       ）

  A．PN＜3                       B．PN＞3                      C．PN≥3                    D．PN≤3

2.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC一条角平分线，则∠CAD度数为(     )

  A．40°            B．45°          C．50°               D．55°

3.如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（    ）

A.PD＞PC    B.PD=PC     C.PD＜PC      D.无法判断

4.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A.AC，BC两边高线的交点处           B.AC，BC两边中线的交点处

C.AC，BC两边垂直平分线的交点处     D.∠A，∠B两内角平分线的交点处

5.如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是（      ）

A.PC=PD       B.∠CPD=∠DOP       C.∠CPO=∠DPO    D.OC=OD

6.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，

则AC长是（　　）

A.3         B.4          C.5       D. 6

7.如图，已知∠AOB．

按照以下步骤作图：

①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．

②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，

连接CE，DE．

③连接OE交CD于点M．

下列结论中错误的是(　　)

A．∠CEO=∠DEO      B．CM=MD     C．∠OCD=∠ECD    D．S四边形OCED=CD•OE

8.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝AD＝5.2km，CB＝CD＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是(　　)

A.3km                       B.4km                      C.5km                        D.5.2km

9.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于(      )

A.1：1：1                      B.1：2：3                    C.2：3：4                        D.3：4：5

10.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是(    )

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

11.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是(    )

A.AB﹣AD＞CB﹣CD       B.AB﹣AD＝CB﹣CD

C.AB﹣CD<CB﹣CD        D.AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定.

12.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：

①点P在∠BAC的平分线上；

②点P在∠CBE的平分线上；

③点P在∠BCD的平分线上；

④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.

其中正确的是(　　)

A.①②③④                        B.①②③                        C.④                         D.②③

二              、填空题

13.如图，在△ABC中，∠BAC=56°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠DEF=    。

14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，则AB的长是　　．

15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E。已知AB=10cm，则△DEB的周长为       。

16.如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．

若PA=2，则PQ的最小值为　　，理论根据为　　          ．

17.如图，△ABC的角平分线交于点P，已知AB，BC，CA的长分别为5，7，6，则S△ABP∶S△BPC∶S△APC=_________．

18.如图，DE⊥AB于E，DF⊥A于F，若BD=CD，BE=CF.

则下列结论：

①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中.

正确的是         .

三              、作图题

19.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图14－32所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由.

四              、解答题

20.如图，已知：CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD=CE，BE交CD于点O．

求证：AO平分∠BAC．

21.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

求证：DE＝DF.

22.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.

23.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D.求证：AD+BC＝AB.

参考答案

1.A

2.B

3.C

4.B

5.B

6.B.

7.C.

8.B

9.C

10.A.

11.A

12.A

13.答案为：25°；

14.答案为：10cm．

15.答案为：10cm.

16.答案为：2，角平分线上的点到角两边的距离相等．

17.答案为：5：7：6；　

18.答案为：①②④；

19.解：如图所示：

 （1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于1/2AB为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；

（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于1/2GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线；

（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求。

20.证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC

∴∠BDO=∠CEO=90°，

又∵∠BOD=∠COE，BD=CE，

∴△BOD≌△COE

∴OD=OE

又由已知条件得△AOD和△AOE都是Rt△，且OD=OE，OA=OA，

∴Rt△AOD≌Rt△AOE．

∴∠DAO=∠EAO，

即AO平分∠BAC．

21.证明：连接AD，

在△ACD和△ABD中，

，

∴△ACD≌△ABD(SSS)，

∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF，

∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE＝DF.

22.（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°，

∴在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD,BE=CF.

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE=DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴AE=AF，CF=BE=4，

∵AC=20，

∴AE=AF=20﹣4=16，

∴AB=AE﹣BE=16﹣4=12.

23.证明：作BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA＝180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA＝90°

∴∠AEB＝90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB＝AF，BE＝EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC＝∠DFE，且BE＝EF，∠DEF＝∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，

∴DF＝BC

∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC.