高考数学统考一轮复习第4章4.1任意角和蝗制及任意角的三角函学案

这是一份高考数学统考一轮复习第4章4.1任意角和蝗制及任意角的三角函学案，共10页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。
第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】一、必记4个知识点1．角的分类(1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________.(2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角．(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示，即β＝⑤________________.2．象限角 第一象限角的集合⑥________________________第二象限角的集合⑦________________________第三象限角的集合⑧________________________第四象限角的集合⑨________________________3.角的度量(1)弧度制：把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角的度量制有：⑪________制，⑫________制．(3)换算关系：1°＝⑬________rad,1 rad＝⑭________.(4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为⑮________，扇形面积公式为⑯________________________.4．任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么⑰________叫做α的正弦，记作sin α⑱________叫做α的余弦，记作cos α⑲________叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ⑳________________________Ⅱ________________________Ⅲ________________________Ⅳ________________________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段________为正弦线有向线段________为余弦线有向线段________为正切线二、必明3个易误点1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)小于90°的角是锐角．(　　)(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　　)(3)若sin α＝sin，则α＝.(　　)(4)－300°角与60°角的终边相同．(　　)(5)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.(　　)二、教材改编2．已知α是第一象限角，那么是(　　)A．第一象限角  B．第二象限角C．第一或第二象限角  D．第一或第三象限角3．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＝____________，cos θ＝________.　三、易错易混4．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　)A．40π cm2  B．80π cm2C．40 cm2   D．80 cm25．角α的终边经过点P(x,4)，且cos α＝，则sin α＝________.　四、走进高考6．[2020·全国卷Ⅱ，2]若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0  B．cos 2α<0C．sin 2α>0  D．sin 2α<0 　象限角与终边相同的角的表示[自主练透型]1．[2018·全国Ⅱ卷]下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)     B．k·360°＋(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)  D．kπ＋(k∈Z)2．设θ是第三象限角，且|cos |＝－cos ，则是(　　)A．第一象限角  B．第二象限角C．第三象限角  D．第四象限角3．若sin α<0且tan α>0，则α是(　　)A．第一象限角  B．第二象限角C．第三象限角  D．第四象限角4．已知角β的终边在直线y＝x上，则β的集合S＝______________________.悟·技法1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.考点二　扇形的弧长及面积公式[互动讲练型][例1]　若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________． [变式练]——(着眼于举一反三)1．若去掉本例中“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 悟·技法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.2.若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________ cm.3．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是，则扇形的周长为________．考点三　三角函数的定义及应用[分层深化型]考向一：三角函数的定义[例2]　(1)若α是第二象限角，其终边上有一点P(x，)，且cos α＝x，则sin α的值是(　　)A.  B.C.  D．－(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.考向二：三角函数值的符号[例3]　(1)若＋＋＝－1，则x不可能的象限是(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限(2)若θ满足sin θcos θ<0且cos θ－sin θ<0，则θ在第________象限． 考向三：三角函数线的应用[例4]　设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<c  B．a<c<bC．b<a<c  D．b<c<a 悟·技法1.三角函数定义应用策略(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值．(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2．三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小．(2)解三角不等式(方程).[变式练]——(着眼于举一反三)4．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)A．小于0  B．大于0C．等于0  D．不存在5．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.6．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________.        第四章　三角函数、解三角形第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】①正角　②负角　③零角　④象限角　⑤k·360°＋α(k∈Z)　⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z}　⑦{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z}　⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}　⑨{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}　⑩半径　⑪角度　⑫弧度　⑬　⑭°　⑮l＝|α|r　⑯S＝lr＝|α|r2　⑰y　⑱x　⑲　⑳正　正　正　正　负　负　负　负　正　负　正　负　MP　OM　AT【小题热身】1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√(5)×2．解析：因为k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，所以k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z，当k为奇数时，是第三象限角；当k为偶数时，是第一象限角．答案：D3．解析：r＝ ＝13，∴sin θ＝＝，cos θ＝＝－.答案：　－4．解析：∵72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．答案：B5．解析：由题意得＝，解得x＝0或x＝±3，当x＝0时，sin α＝1；当x＝±3时，sin α＝.答案：或16．解析：解法一　∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零，故选D.解法二　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin α cos α<0，故选D.答案：D课堂考点突破考点一1．解析：与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案：C2．解析：∵θ是第三象限角，∴是第二或第四象限角，又|cos |＝－cos ，∴cos <0，因此是第二象限角．答案：B3．解析：∵sin α<0，∴α在第三、四象限，∵tan α>0，∴α在第一、三象限，故sin α<0且tan α>0时，α在第三象限．答案：C4．解析：如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．答案：{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}考点二例1　解析：设圆心角是θ，半径是r，则，解得或(舍去)，故扇形的圆心角为.答案：变式练1．解析：设圆心角为θ，半径为r，则2r＋rθ＝10，S＝θ·r2＝r(10－2r)＝r(5－r)＝－(r－)2＋≤.当且仅当r＝时，Smax＝，θ＝2，所以当r＝，θ＝2时，扇形面积最大．2．解析：设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝得r＝4 cm，所以l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．答案：π3．解析：设扇形的弧长为l，半径为R，由题意可得：lR＝2，＝，解得：l＝2，R＝2，则扇形的周长为：l＋2R＝4＋2.答案：4＋2考点三例2　解析：(1)由三角函数的定义得cos α＝＝＝x，解得x＝0或x＝或x＝－，∵α是第二象限角，即x<0，∴x＝－，∴sin α＝＝＝.(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝，所以P(－，－6)．所以sin α＝－，所以tan α＝＝，则＋＝－＋＝－.答案：(1)C　(2)－例3　解析：(1)当x是第一象限角时，＋＋＝3≠－1，故x一定不是第一象限角；当x是第二象限角时，＋＋＝1－1－1＝－1，即x可以是第二象限角；当x是第三象限角时，＋＋＝－1－1＋1＝－1，即x可以是第三象限角；当x是第四象限角时，＋＋＝－1＋1－1＝－1，即x可以是第四象限角．(2)∵sin θcos θ<0，∴θ在第二、四象限，又∵cos θ－sin θ<0，∴θ∈(＋2kπ，π＋2kπ)，k∈Z，∴θ在第二象限．答案：(1)A　(2)二例4　解析：如图，设∠BOC＝1，由于<1<，结合三角函数线的定义有cos 1＝OC，sin 1＝CB，tan 1＝DA，结合几何关系可得cos 1<sin 1<tan 1，即b<a<c.答案：C变式练4．解析：因为<2<3<π<4<，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cos 3·tan 4<0.答案：A5．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.答案：－16．解析：因为θ∈，所以cos θ<0，所以r＝＝＝－5cos θ，所以sin α＝＝－，tan α＝＝－.答案：－　－