高考数学统考一轮复习第4章4.6正弦定理和余弦定理学案

这是一份高考数学统考一轮复习第4章4.6正弦定理和余弦定理学案，共11页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．正弦定理
①____________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a?b?c＝②______________________；(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，③________；(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝④________等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理
a2＝⑤________________，b2＝⑥____________________，c2＝⑦________________________.余弦定理可以变形为：cs A＝⑧________________，cs B＝⑨____________________，cs C＝⑩________________.
3．三角形面积公式
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
二、必明2个易误点
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( )
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则∠B＝45°或∠B＝135°.( )
(4)若满足条件C＝60°，AB＝eq \r(3)，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是(eq \r(3)，2)．( )
(5)在△ABC中，若acs B＝bcs A，则△ABC是等腰三角形．( )
(6)在△ABC中，若tan A＝a2，tan B＝b2，则△ABC是等腰三角形．( )
二、教材改编
2．[必修5·P10T4改编]在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定

三、易错易混
4．在△ABC中，若A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(π,4)，BC＝3eq \r(2)，则AC＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．4eq \r(5)
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cs 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C．1 D．2
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B＝( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
eq \x(考点一) 利用正、余弦定理解三角形[自主练透型]
考向一：用正弦定理解三角形
1．[2021·北京朝阳区模拟]在△ABC中，B＝eq \f(π,6)，c＝4，cs C＝eq \f(\r(5),3)，则b＝( )
A．3eq \r(3) B．3 C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
2．[2021·丹东模拟]在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，则A＝( )
A．15° B．45° C．75° D．105°

考向二：用余弦定理解三角形
3．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[2018·全国卷Ⅱ]在△ABC中，cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
5．[2021·贵阳模拟]平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝( )
A．4 B.eq \r(10) C.eq \r(19) D.eq \r(7)

考向三：综合利用正、余弦定理解三角形
6．[2020·天津卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2eq \r(2)，b＝5，c＝eq \r(13).
(1)求角C的大小；
(2)求sin A的值；
(3)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))的值．
悟·技法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
考点二 利用正弦、余弦定理边角互化
[互动讲练型]
[例1] (1)[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]设△ABC的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2b－acs C＝0，sin A＝3sin(A＋C)，则eq \f(bc,a2)＝( )
A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(14),9) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(6),9)
(2)[2019·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
悟·技法
1.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧
2.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·湖北省部分重点中学高三起点考试]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)＝eq \f(sin C,c)，若b2＋c2－a2＝eq \f(8,5)bc，则tan B的值为( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－3 D．3
2．[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]已知△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c.若cs A(sin C－cs C)＝cs B，a＝2，c＝eq \r(2)，则角C的大小为________．

考点三 与三角形面积有关的问题[分层深化型]
[例2] 在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
悟·技法
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2021·江西省名校高三教学质量检测]在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B.
(1)求角C的大小；
(2)若bcs C＋ccs B＝4，B＝eq \f(π,4)，求△ABC的面积．
[变式练]——(着眼于举一反三)
4．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－csin C＝(b－eq \f(2,3)c)sin B.
(1)求sin A；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[拓展练]——(着眼于迁移应用)
5．[2019·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
第六节 正弦定理和余弦定理
【知识重温】
①eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R ②sin A?sin B?sin C ③c＝2Rsin C ④eq \f(c,2R) ⑤b2＋c2－2bccs A ⑥a2＋c2－2accs B ⑦a2＋b2－2abcs C ⑧eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ⑨eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
⑩eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
(5)√ (6)×
2．解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cs ∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，
由A∈(0，π)，得A＝eq \f(2π,3)，即∠BAC＝eq \f(2π,3).
答案：C
3．解析：由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，所以sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1，所以角B不存在，既满足条件的三角形不存在．故选C项．
答案：C
4．解析：由正弦定理得：eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，
即有AC＝eq \f(BC·sin B,sin A)＝eq \f(3\r(2)×sin\f(π,4),sin\f(π,3))＝2eq \r(3).
答案：C
5．解析：由cs 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝eq \f(1,2)(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选A.
答案：A
6．解析：由cs C＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)得eq \f(2,3)＝eq \f(16＋9－AB2,2×4×3)，∴AB＝3，∴cs B＝eq \f(BA2＋BC2－AC2,2BA·BC)＝eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝eq \f(1,9)，故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为cs C＝eq \f(\r(5),3)，C∈(0，π)，所以sin C＝ eq \r(1－cs2C)＝eq \f(2,3).又因为B＝eq \f(π,6)，c＝4，所以由正弦定理得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(4×\f(1,2),\f(2,3))＝3.
答案：B
2．解析：在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，
由正弦定理得sinB＝eq \f(ACsin C,AB)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2).
因为AB>AC，所以C>B，
所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
答案：C
3．解析：设AC＝x，由余弦定理得，cs 120°＝eq \f(x2＋9－13,2×3x)＝－eq \f(1,2)，∴x2－4＝－3x，即x2＋3x－4＝0.∴x＝1或－4(舍去)．∴AC＝1，选A.
答案：A
4．解析：∵ cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴ cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴ AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
故选A.
答案：A
5．解析：如图所示，
在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得
cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4)，
所以cs∠DAB＝－cs∠ABC＝eq \f(1,4)，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cs∠DAB＝32＋22－2×3×2×eq \f(1,4)＝10.
所以BD＝eq \r(10).
答案：B
6．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2eq \r(2)，b＝5，c＝eq \r(13)，有cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2),2).又因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,4).
(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝eq \f(π,4)，a＝2eq \r(2)，c＝eq \r(13)，可得sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(2\r(13),13).
(3)由a