高考数学统考一轮复习第9章9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案

这是一份高考数学统考一轮复习第9章9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案，共10页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记2个知识点
1．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴①________与直线l②________之间所成的③__________α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线倾斜角α的取值范围是④____________.
(2)斜率的定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的⑤________叫做这条直线的斜率，常用k表示，即⑥________.倾斜角是90°的直线，斜率k不存在．
(3)斜率公式
当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k＝⑦____________.
(4)直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为⑧____________，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为⑨________.
2．直线方程的几种基本形式
二、必明4个易误点
1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．
2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．
3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B).
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.( )
(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．( )
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
二、教材改编
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0

三、易错易混
4．直线eq \r(3)x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
6．经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为______________________．
eq \x(考点一) 直线的倾斜角与斜率[自主练透型]
1．[2021·河北衡水模拟]过不重合的A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－1 B．－2
C．－1或2 D．1或－2
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
3．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
悟·技法
1.斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．(α≠90°)
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．
2．斜率取值范围的三种求法
(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．
(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．
(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.
考点二 直线的方程[互动讲练型]
[例1] 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
悟·技法
求直线方程的关注点
在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．求适合下列条件的直线方程．
(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq \f(1,4)倍；
(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．
考点三 直线方程的综合应用[分层深化型]
考向一：由直线方程求参数问题
[例2] 若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
考向二：与直线方程有关的最值问题
[例3] 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
悟·技法
直线方程的综合应用
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．在本例3条件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．
第九章 解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【知识重温】
①正向 ②向上方向 ③最小正角 ④0°≤α＜180° ⑤正切值 ⑥k＝tan α ⑦eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2) ⑧(x2－x1，y2－y1) ⑨(1，k) ⑩y＝kx＋b ⑪y－y0＝k(x－x0) ⑫eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) ⑬eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 ⑭Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．解析：由题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.故选A.
答案：A
3．解析：由中点坐标公式得M(2,4)，N(3,2)，则kMN＝eq \f(2－4,3－2)＝－2，∴MN所在直线的方程为：y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0.故选C.
答案：C
4．解析：由直线方程得y＝eq \r(3)x＋a，所以斜率k＝eq \r(3)，
设倾斜角为α.
所以tan α＝eq \r(3)，又因为0°≤α<180°，所以α＝60°.故选B.
答案：B
5．解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.故选D.
答案：D
6．解析：经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为eq \f(y＋2,4＋2)＝eq \f(x－1,－3－1)，即3x＋2y＋1＝0.
答案：3x＋2y＋1＝0
课堂考点突破
考点一
1．解析：过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的斜率k＝eq \f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2).
∵直线l的倾斜角为45°，
∴k＝eq \f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2)＝1，解得m＝－1或m＝－2.
当m＝－1时，A、B重合，故舍去，∴m＝－2.故选B.
答案：B
2．解析：∵直线的斜率k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0，则倾斜角的范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).故选B.
答案：B
3．解析：设直线l的斜率为k，
则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq \f(2,k).
令－3<1－eq \f(2,k)<3，解得k<－1或k>eq \f(1,2).
答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
考点二
例1 解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(10),10)(0<α<π)．
k＝tan α＝±eq \f(1,3)，
故所求直线方程为y＝±eq \f(1,3)(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1，又直线过点(－3,4)，
从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
变式练
1．解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－eq \f(1,4)×3＝－eq \f(3,4).
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－eq \f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－eq \f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq \f(2,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝eq \f(2,3)(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
考点三
例2 解析：令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，因为eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．故选C.
答案：C
例3 解析：解法一 依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,k)，0))；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
|OA|＋|OB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,k)))＋(4－k)
＝5－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(4,k)))
＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－k＋\f(4,－k)))≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝eq \f(4,－k)且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0.
解法二 依题意，l的截距都存在，且不为0，
设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
∵过P(1,4)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1，
∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(4)＝9，
当且仅当a＝3，b＝6时，取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0.
变式练
2．解析：|PA|·|PB|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)))2＋16)·eq \r(1＋k2)
＝－eq \f(4,k)(1＋k2)＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,－k)))＋－k))≥8.(k<0)
∴当且仅当eq \f(1,－k)＝－k且k<0，
即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0.
名称
方程
适用范围
斜截式
⑩____________
不能表示垂直于x轴的直线
点斜式
⑪____________
不能表示垂直于x轴的直线
两点式
⑫____________
不能表示垂直于坐标轴的直线
截距式
⑬____________
不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线
一般式
⑭____________
能表示平面上任何直线