高考数学统考一轮复习第9章9.5椭圆学案

这是一份高考数学统考一轮复习第9章9.5椭圆学案，共11页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．椭圆的定义
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
3.椭圆中的4个常用结论
(1)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.
二、必明3个易误点
1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(6)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
二、教材改编
2．已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7 C．6 D．5
3．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
三、易错易混
4．若方程eq \f(x2,5－m)＋eq \f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
5．已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为________．

四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1



eq \x(考点一) 椭圆的定义及其标准方程
[自主练透型]
1．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，|F1F2|＝2eq \r(2)，B为短轴的一个端点，三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为eq \r(7)，则椭圆的长轴长为( )
A．4 B．8
C.eq \f(1＋\r(33),2) D．1＋eq \r(33)
2．[2021·大同市高三学情调研测试试题]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中点为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,18)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,10)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
3．[2021·深圳市普通高中高三年级统一考试]已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16




悟·技法
求椭圆标准方程的2种常用方法

考点二 椭圆的几何性质[分层深化型]
考向一：求离心率的值
[例1] [2021·长沙市高三年级统一模拟考试]设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0＜t＜b)，已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),3)
考向二：求离心率的范围
[例2] 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|＝|F1F2|＝2c，若∠PF2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
悟·技法
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
考向三：最值(或范围)问题
[例3] 已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0悟·技法
求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1．[2021·广东省七校联合体考试]已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝eq \f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________．

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·泉州质检]已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7 C．6 D．5

3．[2021·安徽合肥检测]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
4．[2021·湖南长沙一中月考]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的一条切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

考点三 直线与椭圆的位置关系[互动讲练型]
[例4] [2020·全国卷Ⅲ]已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
悟·技法
1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步：确定直线与椭圆的方程．
第二步：联立直线方程与椭圆方程．
第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．
2．直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率).
[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·烟台模拟]已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))，求直线l的方程．
第五节 椭圆
【知识重温】
①F1，F2 ②|F1F2| ③x轴，y轴 ④坐标原点 ⑤(－a,0) ⑥(a,0) ⑦(0，－b) ⑧(0，b) ⑨(0，－a) ⑩(0，a) ⑪(－b,0) ⑫(b,0) ⑬2a ⑭2b ⑮2c ⑯(0,1) ⑰c2＝a2－b2
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(5)× (6)√
2．解析：∵焦点在x轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m，∴c2＝a2－b2＝m－2－10＋m＝2m－12＝4.∴m＝8.
答案：A
3．解析：由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ>0)，把点A(3，－2)代入得eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
答案：A
4．解析：由方程表示椭圆知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))
解得－3答案：C
5．解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝eq \r(5－m)，由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(5－m),\r(5))＝eq \f(\r(10),5)，解得m＝3；若a2＝m，b2＝5，则c＝eq \r(m－5).由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(m－5),\r(5))＝eq \f(\r(10),5)，解得m＝7.
答案：3或7
6．解析：令|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|F2B|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cs∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4xcs∠BF2F1 ①，在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cs∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22－8xcs∠AF2F1 ②，由①②得x＝eq \f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq \r(3)，a＝eq \r(3)，b2＝a2－c2＝2.故椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：由题意可知c＝eq \r(2)，S△BF1O＝eq \f(1,2)bc＝eq \f(\r(2),2)b＝eq \r(7)，b＝eq \r(14)，所以a＝eq \r(b2＋c2)＝4，所以长轴长为2a＝8，故选B.
答案：B
2．解析：设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，得a2＝2b2，根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a，所以4a＝16，即a＝4，a2＝16，b2＝8，则椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
答案：D
3．解析：由x2＋eq \f(y2,4)＝1可知a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，不妨令F1(0，eq \r(3))，F2(0，－eq \r(3))，则|MF2|＋|MN|≥|NF2|，而|MF1|＝|MN|，所以当N，M，F2三点共线时(M在线段NF2上)，|NF2|取得最大值，此时|NF2|＝|NM|＋|MF2|＝|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，选B.
答案：B
考点二
例1 解析：如图，连接PF1，EF1，则|EF1|＝|EF2|.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a－|PF1|.△PEF2的周长为|PE|＋|PF2|＋|EF2|＝|PE|＋2a－|PF1|＋|EF2|＝2a＋|EF2|＋|PE|－|PF1|≥2a＋|EF2|－|EF1|＝2a＝3b，
∴椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，故选D.
答案：D
例2 解析：根据题意有|PF1|＝2a－2c，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则cs∠PF2F1＝eq \f(4c2＋4c2－2a－2c2,2×4c2)＝eq \f(c2－a2＋2ac,2c2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(2ac－a2,2c2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,e)－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2，因为∠PF2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，所以cs∠PF2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，所以－10.所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋\f(2,e)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2>0,\f(1,e)－\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2<0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2－\f(2,e)－3<0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2－\f(2,e)>0))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)－3))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)＋1))<0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)－2))\f(1,e)>0))⇒2答案：D
例3 解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知eq \f(2b2,a)＝3.所以b2＝3，即b＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
同类练
1．解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝eq \f(\r(2),4)x，由|AB|＝2c，可知|OA|＝eq \r(x2＋y2)＝c(O为坐标原点)，即eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)x))2)＝c，解得x＝eq \f(2\r(2),3)c，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c，\f(1,3)c))，把点A坐标代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)c))2,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，整理得，8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
变式练
2．解析：∵椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.
答案：A
3．解析：如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝eq \r(2)c，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故选D.
答案：D
4．解析：连接PF2，F2T.因为|PT|＝eq \r(|PF2|2－b－c2)(b>c)，|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为eq \r(a－c2－b－c2).依题意，有eq \r(a－c2－b－c2)≥eq \f(\r(3),2)(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0 ①.又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1 ②.由①②，得eq \f(3,5)≤e答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(\r(2),2)))
考点三
[例4] 解析：(1)由题设可得eq \f(\r(25－m2),5)＝eq \f(\r(15),4)，得m2＝eq \f(25,16)，所以C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(25,16))＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因为|BP|＝|BQ|，
所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2).
|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
变式练
5．解析：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
因为c＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2，b＝eq \r(3)，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))得x1＝－2x2.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(－8k,3＋4k2)，,x1·x2＝\f(－8,3＋4k2)，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＝\f(－8k,3＋4k2),－2x\\al(2,2)＝\f(－8,3＋4k2)))，
消去x2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k,3＋4k2)))2＝eq \f(4,3＋4k2).解得k2＝eq \f(1,4)，k＝±eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y＝±eq \f(1,2)x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
①________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a
(2a＞|F1F2|)
②________为椭圆的焦距
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：③________
对称中心：④________
顶点
A1⑤_____，A2⑥_____
B1⑦_____，B2⑧_____
A1⑨_____，A2⑩_____
B1⑪_____，B2⑫_____
性
质
轴
长轴A1A2的长为⑬________
短轴B1B2的长为⑭________
焦距
|F1F2|＝⑮________
离心率
e＝eq \f(c,a)∈⑯________
a，b，c
的关系
⑰________
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)