人教a版高中数学必修第一册复习课1集合与常用逻辑用语学案
展开复习课(一) 集合与常用逻辑用语
考点一 集合的基本概念
正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．
【典例1】 (1)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
(2)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为________．
[解析] (1)由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．综上所述，m＝3.
(2)由A*B的含义可知，A*B＝{0,2,4}，故其所有元素之和为6.
[答案] (1)B (2)6
解决集合的概念问题应关注2点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
[针对训练]
1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
[解析] ①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；
②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；
③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.
综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C.
[答案] C
2．若－3∈{x－2,2x2＋5x,12}，则x＝________.
[解析] 由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
①当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，
当x＝－时，集合的三个元素为－，－3,12，满足集合中元素的互异性．
由①②知x＝－.
[答案] －
考点二 集合间的基本关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.
【典例2】 (1)若集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系是( )
A．M＝N?P B．M?N＝P
C．M?N?P D．N?P?M
(2)已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．
[解析] (1)M＝.
N＝＝，
P＝.∴M?N＝P.
(2)①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.
②当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1<x<1}，A⊆B，
∴∴a≥2.
③当a<0时，A＝.
∵A⊆B，∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围为{a|a≥2或a≤－2或a＝0}．
[答案] (1)B (2){a|a≥2或a≤2或a＝0}．
(1)判断两集合关系的2种常用方法
一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
(2)处理集合间关系问题的关键点
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．
[针对训练]
3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是( )
A．M＝N B．M?N
C．N⊆M D．N?M
[解析] 由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知M?N.
[答案] B
4．已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________．
[解析] ∵a<1，∴2a<a＋1，∴B≠∅.
画数轴如图所示．
由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.
即a<－2或a≥.
由已知a<1，∴a<－2或≤a<1，
即所求a的取值范围是a<－2或≤a≤1.
[答案]
考点三 集合的基本运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．活用集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝A转化为B⊆A.
【典例3】 (1)已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．
[解析] (1)因为集合A＝{x|x>－1}，
所以∁RA＝{x|x≤－1}，
则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}
＝{－2，－1}．
(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，
且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1或m＝2符合条件．
∴m＝1或m＝2.
[答案] (1)A (2)m＝1或m＝2
集合基本运算的答题策略
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
[针对训练]
5．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|x>2，x∈N}
B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0,2}
D．{1,2}
[解析] 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}，选C.
[答案] C
6．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求使A⊆A∩B成立的a的取值集合．
[解] 由A⊆A∩B，得A⊆B，则
①当A＝∅时，2a＋1>3a－5，解得a<6.
②当A≠∅时，解得6≤a≤9.
综合①②可知，使A⊆A∩B成立的a的取值集合为{a|a≤9}．
考点四 简易逻辑用语
充分必要条件的判断常用“定义”法和“集合”法判断．若用“定义”法，一般将命题改写为“若p，则q”的形式，若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若利用集合的关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，A?B即A是B的充分不必要条件，A＝B则A是B的充要条件．
全称量词命题为真，存在量词命题为假的判断都需要推理证明，反之则只需举出反例即可，含有量词的否定，遵循“改量词，否结论”的原则．
【典例4】 (1)已知p：<0，q：有意义，则p的否定是q的( )条件( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)不等式(x－3)2x>2(x－3)2成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>2 B．x>2且x≠3
C．x>1 D．x>5
[解析] (1)命题p为x＋2<0，其否定为x＋2≥0，即x≥－2.而有意义需x＋2≥0，故p的否定是q的充要条件．
(2)(x－3)2x>2(x－3)2⇔x>2且x≠3，所以(x－3)2x>2(x－3)2成立的充分不必要条件应是集合{x|x>2且x≠3}的真子集，故选D.
[答案] (1)C (2)D
(1)写出一个命题的否定要先将命题化为最简形式．
(2)利用“集合法”判断两个命题的关系，要合理转化为集合间的包含关系，同时还要注意集合中端点值的检验，如针对训练8题．
[针对训练]
7．A∩B＝B是B?A的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[解析] A∩B＝B⇔B⊆A，因为B⊆AB?A，所以B⊆A不是B?A的充分条件，但B?A⇒B⊆A，∴B⊆A是B?A的必要条件，故A∩B＝B是B?A的必要不充分条件．故选B.
[答案] B
8．已知p：－2≤x≤10，q：2m≤x≤1＋m，
(1)p的否定为______________________．
(2)若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
[解析] (1)p的否定为：x<－2或x>10.
(2)由题意：pq，q⇒p，故{x|2m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}．
①当1＋m<2m，即m>1时，{x|2m≤x≤1＋m}＝∅，满足题意．
②当m≤1时，有∴－1≤m≤1，
综上得m的取值范围是m≥－1.
[答案] (1)x>10或x<－2 (2)m≥－1
