高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案，共10页。

 1.5　全称量词与存在量词
1．5.1　全称量词与存在量词


1．能够记住全称量词和存在量词的概念．
2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．
3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．

1．全称量词与全称量词命题

2.存在量词与存在量词命题



1．x>是命题吗？对任意的x∈R，x>是命题吗？
[答案]　x>不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>则是命题
2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？
[答案]　命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　)
(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　)
(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　)
(4)内错角相等是全称量词命题．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

题型一 全称量词命题与存在量词命题
【典例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的内角和等于360°；
(2)有的力的方向不定；
(3)矩形的对角线不相等；
(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．
[思路导引]　找命题中的量词及其命题的含义．
[解]　(1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．


判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

[针对训练]
1．用全称量词或存在量词表示下列语句
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)方程3x－2y＝10有整数解；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解]　(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.
题型二 判断全称量词命题的真
【典例2】　判断下列全称量词命题的真假．
(1)任意实数的平方均为正数．
(2)函数y＝kx＋b为一次函数．
(3)同弧所对的圆周角相等．
(4)∀x∈R，x2＋3≥3.
[解]　(1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．
(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．
(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．
(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．

　判断全称量词命题真假的方法
要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．

[针对训练]
2．判断下列全称量词命题的真假．
(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．
(2)末位是零的整数，可以被5整除．
(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.
[解]　(1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
题型三 存在量词命题真假的判断
【典例3】　判断下列存在量词命题的真假．
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
[解]　(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．


　判断存在量词命题真假的方法
判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．

[针对训练]
3．判断下列存在量词命题的真假．
(1)有些二次方程只有一个实根．
(2)某些平行四边形是菱形．
(3)存在实数x1、x2，当x1x.
[解]　(1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．
(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．
(3)当x1＝－2，x2＝1时有x>x，故“存在实数x1、x2，当x1x”为真命题.
题型四 含有量词的命题的应用
【典例4】　已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
[解]　∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
[变式]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解]　∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，
∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．


　求参数范围的2类题型
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

[针对训练]
4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
[解]　不等式m＋x2－2x＋5>0可化为
m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．
[解]　不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．

课堂归纳小结
1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合
内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．
3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.


1．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．一定存在没有最大值的二次函数
[解析]　D选项是存在量词命题．
[答案]　D
2．下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．
[答案]　B
3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　　)
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
[解析]　“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．
[答案]　C
4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析]　∵对于任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.
[答案]　a≤8
5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．
(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；
(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．
[解]　(1)存在量词命题．
∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，
使|x|＋2≤0.故命题为假命题．
(2)存在量词命题．
∵x2＋x＋8＝2＋>0，∴命题为假命题．
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
课后作业(八)
复习巩固
一、选择题
1．下列量词是全称量词的是(　　)
A．至少有一个 B．存在
C．都是 D．有些
[答案]　C
2．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．
[答案]　C
3．下列命题是存在量词命题的是(　　)
A．一次函数的图象都是上升的或下降的
B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
[解析]　选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．
[答案]　C
4．下列是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x，y∈R，x2＋y2>0
C．∀x∈Q，x2∈Q D．∃x∈Z，使x2>1
[解析]　首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．
[答案]　C
5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
[解析]　只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
[答案]　A
二、填空题
6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．
[解析]　命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.
[答案]　∀x≤0，x3≤0
7．给出下列四个命题：
①y＝⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．
其中全称量词命题是________．
[解析]　①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
[答案]　①②④
8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
[解析]　①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
[答案]　0
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些素数是奇数．
[解]　(1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．
(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．
10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
[解]　(1)∀x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题．
(2)∀a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)∃x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．
(4)∀x∈Q，使x2＋x＋1是有理数；真命题．
综合运用
11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(　　)
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∀x∈R，＝x
D．平面内，不相交的两条直线是平行直线
[解析]　A中的命题是全称量词命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.
[答案]　D
12．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是(　　)
A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
[解析]　由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a2－，故此函数图象的开口向上，且当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，故∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0，故选C.
[答案]　C
13．已知函数y＝x2＋bx＋c，则“c<0”是“∃x0∈R，使x＋bx0＋c<0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　∃x0∈R，使x＋bx0＋c<0的充要条件是x＋bx0＋c<0有解，即b2－4c>0,4c [答案]　A
14．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
[解析]　依题意，得
即∴a<－1.
[答案]　{a|a<－1}
15．已知命题“∃x∈R,2x＋(a－1)x＋≤0”是假命题，求实数a的取值范围．
[解]　由题意可得“对∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1