高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质导学案，共11页。
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2．掌握不等式的有关性质．
3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，ac，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
1．若a>b，且ab>0，则eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的大小关系如何？
[答案] 因为ab>0，所以a与b同号．
而eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)，又a>b，所以b－ab＋d，则a>b，c>d.( )
(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【典例1】 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
[思路导引] 根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．
[解] 若提价后商品的售价为x元，则销售量减少eq \f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
[针对训练]
1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．
[答案] eq \f(1,2)(a2＋b2)>ab
2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m的免票，身高1.2～1.5 m的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？
[解] 设身高为h m，
题型二 数(式)的大小比较
【典例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
[思路导引] 我们知道，a－b>0⇔a>b，a－b3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
[针对训练]
3．已知x，y均为正数，设m＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)，n＝eq \f(4,x＋y)，比较m和n的大小．
[解] ∵m－n＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋y,xy)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq \f(x－y2,xyx＋y).
又x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
4．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)且z＝1时取等号.
题型三 利用不等式的性质判断或证明不等式
【典例3】 (1)对于实数a，b，c，给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若ab2；
③若a>b，则a2>b2；
④若ab，e>f，c>0.求证：f－ac－ac，再由性质5证明．
[解析] (1)对于①∵c2≥0，
∴只有c≠0时才成立，①不正确；
对于②，ab，则a2－2，
但(－1)2(－b)2，即a2>b2.
又∵ab>0，∴eq \f(1,ab)>0，∴a2·eq \f(1,ab)>b2·eq \f(1,ab)，∴eq \f(a,b)>eq \f(b,a)，④正确．
(2)证明：∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－acb>0，c0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，即eq \f(1,a－c2)