高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第2课时导学案

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 第2课时　分段函数


1．会用解析法及图象法表示分段函数．
2．给出分段函数，能研究有关性质．
3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．

1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
(3)分段函数的图象要分段来画．

1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：
①5千米以内，票价2元；
②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？
(2)函数的表达式是什么？
(3)x与y之间有何特点？
[答案]　(1)有函数关系
(2)y＝
(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
(3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)
(4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

题型一 分段函数求值
【典例1】　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
[思路导引]　根据自变量取值范围代入对应解析式求值．
[解]　(1)∵－21时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1,1]；
当a－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.

(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．
(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．

[针对训练]
1．设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　)
A. B．3 C. D.
[解析]　∵f(3)＝1，由1－x2＝－3得x2＝4，
解得x＝2或x＝－2(舍去)．
综上可得，所求x的值为－4或2.
[答案]　－4或2
题型二 分段函数的图象
【典例2】　(1)作出下列分段函数的图象：
①y＝　　　②y＝|x＋1|.
(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，求：

①y与x之间的函数关系式；
②画出y＝f(x)的图象．
[思路导引]　(1)利用描点法分段作图；(2)先依据x的变化范围求出关系式．
[解]　(1)①函数图象如图1所示．

②y＝|x＋1|＝，其图象如图2所示．
(2)①y＝
②



分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
[针对训练]
3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．

[解]　由于f(x)的图象由两条线段组成，
因此可设f(x)＝

将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，
点(1，－1)代入f(x)＝cx可得
f(x)＝
由图象可得f(x)的值域为(－1,1).
题型三 分段函数的综合问题
【典例3】　已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
[思路导引]　去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．
[解]　若x≤－1，则x－33，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)－1