人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

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  4.3　对数4．3.1　对数的概念1．了解对数的概念．2．会进行对数式与指数式的互化．3．会求简单的对数值．1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数与自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.3．指数与对数的互化当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.4．对数的性质(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)零和负数没有对数．1．指数方程3x＝如何求解？[答案]　化为3x＝3，求得x＝2．如何求解3x＝2?[答案]　x＝log323．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)(4)等式loga1＝0对a∈R均成立．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×题型一  指数式与对数式的互化【典例1】　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝；(2)－2＝16；(3)log27＝－3；(4)log64＝－6. [思路导引]　借助ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)转化．[解]　(1)∵3－2＝，∴log3＝－2.(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.(3)∵log27＝－3，∴－3＝27.(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．[针对训练]1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log32＝－5；(5)lg0.001＝－3.[解]　(1)log2＝－7.(2)log327＝a.(3)lg0.1＝－1.(4)－5＝32.(5)10－3＝0.001.题型二  对数的计算【典例2】　求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.[思路导引]　把对数式化为指数式求解．求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值．(2)把对数式转化为指数式．(3)解有关方程，求得结果．[针对训练]2．求下列各式中的x值：(1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)x＝log27；(4)x＝log16. (3)由x＝log27，可得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－.(4)由x＝log16，可得x＝16.∴2－x＝24，∴x＝－4. 题型三  对数的性质[思路导引]　首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值．[解]　(1)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得解得x＝－2.(2)由log2[log3(log4x)]＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.对数性质的应用要点(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式alogaN＝N及其格式．[针对训练]3．求下列各式中x的值：(1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lgx)＝1.[解]　(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，∴x＝41＝4.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000. 课堂归纳小结1．对数概念的理解(1)规定a>0且a≠1.(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)A．e0＝1与ln1＝0B．8＝与log8＝－C．log39＝2与9＝3D．log77＝1与71＝7[解析]　由log39＝2，得32＝9，故选C.[答案]　C2．已知logx16＝2，则x等于(　　)A．4 B．±4C．256 D．2[解析]　∵logx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.[答案]　A3．设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　)A．10 B．13C．100 D．±100[解析]　由5 log5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.[答案]　B4．式子2log25＋log1的值为________．[解析]　原式＝5＋0＝5.[答案]　5课后作业(二十九)复习巩固一、选择题1．使对数loga(5－a)有意义的a的取值范围为(　　)A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,5)C．(0,1)∪(1,5) D．(－∞，5)[解析]　由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0<a<5且a≠1.[答案]　C[解析]　根据对数的定义可知，－3＝log3.[答案]　C3．已知lnx＝2，则x等于(　　)A．±2 B．e2C．2e D．2e[解析]　由lnx＝2得，e2＝x，所以x＝e2.[答案]　B4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于(　　)A．9 B．8C．7 D．6[解析]　由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8.[答案]　B[解析]　由原方程得＝31，所以logx24＝1，即x2＝4，即x＝±2，经检验知x＝±2都是方程的解．[答案]　D二、填空题[答案]　2[解析]　原式＝2log23＋0－102·10lg2＝3－200＝－197.[答案]　－197[答案]　三、解答题9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125；(2)4－2＝；(3)log8＝－3；(4)log3＝－3.[解]　(1)∵53＝125，∴log5125＝3.(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．[解]　∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.综合运用11．若loga＝c，则下列关系式中正确的是(　　)A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D．b＝c5a[解析]　由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.[答案]　A12．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且x≠1)，则logx(abc)＝(　　)A.  B.  C.  D.[答案]　D13．方程log3(2x2－1)＝1的解为x＝________.[解析]　由log3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，∴2x2＝4，x＝±.[答案]　±14.－1＋log0.54的值为________．[解析]　－1＋log0.54＝－1·＝2×4＝8.[答案]　8[解]　(1)∵log2[log3(log4x)]＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.