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2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案设计
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这是一份2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案设计，共13页。
4．5.3 函数模型的应用
1．能利用已知函数模型求解实际问题．
2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
1．常见的函数模型
建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：
指数函数模型：y＝b·ax＋c(a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型y＝mlogax＋n(a>0且a≠1，m≠0)．
2．常见的图象对应的数学模型
(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝bax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．
(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blogax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．
(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．
(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型．
1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？
[答案] 指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数增长速度均匀不变
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )
(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．( )
(3)函数y＝·3x＋1属于幂函数模型．( )
(4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y＝2x＋1.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
题型一 利用已知函数模型解决实际问题
【典例1】 我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：
LI＝10·lg(单位为分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．
回答以下问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．
[解] (1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102；∴LI2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，∴LI3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
(2)由题意知0≤LI<50，即0≤10lg<50，∴1≤<105，即10－12≤I<10－7.故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，小于10－7 W/m2.
利用已知函数模型解决实际问题的解题要点
解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．
[针对训练]
1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)
[解] 根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝.
利用计算器，解得k＝0.0004222.
故θ＝20＋80e－0.0004222t.
从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152，
由计算器算得θ≈89℃>85℃，
即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
题型二 自建函数模型解决实际问题
【典例2】 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[思路导引] 已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解．
[解] (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100·(1＋1.2%)3；
…
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈15.3.
因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．
可以用指数函数模型来解决的几类问题
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[针对训练]
2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝
题型三 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【典例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象．
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[思路导引] 借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题．
[解] (1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x.则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．
[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30 cm，问可以灌溉土地多少公顷？
[解] 由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×30，求得y＝56.2，即当最大积雪深度为30 cm时，可以灌溉土地约为56.2公顷．
建立拟合函数的方法策略
根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题．
[针对训练]
3．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
[解] 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
[解析] 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
[答案] C
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[解析] 由题意可知函数模型为指数函数，故选D.
[答案] D
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的关系用图象表示为图中的( )
[答案] B
4．一种产品原来的成本价为a元，计划每年降低p%，则成本y随年数x变化的函数关系式是________．
[解析] 当x＝1时，y＝a(1－p%)；当x＝2时，y＝a(1－p%)2；当x＝3时，y＝a(1－p%)3；….故成本y随年数x变化的函数关系式是y＝a(1－p%)x.
[答案] y＝a(1－p%)x
5.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
[解析] 由题意，可得ae－5n＝，n＝ln2，令ae－tln2＝，得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有 L.
[答案] 10
课后作业(三十六)
复习巩固
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
[解析] 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，
则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
[答案] D
2．有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
[解析]
可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
[答案] C
3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
[解析] 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
[答案] A
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10
C．lg10.1 D．10－10.1
[解析] 两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，
则lg＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.故选A.
[答案] A
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
[解析] 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
[答案] C
二、填空题
6．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．
[解析] 设2010年年产量是a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝－1.
[答案] －1
7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
[解析] 由题意，得②÷①，得e22k＝(e11k)2＝，故e11k＝.故食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝3×192＝24(小时)．
[答案] 24
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
[解析] ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
[答案] 1.75
三、解答题
9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解] (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2.解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.
10．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：
生长时间
2
4
5
8
9
高度
2.01
3.01
3.50
4.99
5.47
(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式；
(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年．
[解]
(1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型．
故所求的函数关系式可设为y＝kx＋b(其中k≠0，x∈N＋)．
把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组
解得
因此所求的函数关系式为y＝0.4925x＋1.0375(x∈N＋)．
分别将x＝2，x＝4，x＝8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系．
(2)令0.4925x＋1.0375＝50，解得x≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树．
综合运用
11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
[解] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y＝10t；
当t＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝t－0.1.
∴y＝
(2)由题意可知，t－0.1<0.25，得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：
x(天)
10
20
25
30
Q(x)(件)
110
120
125
120
已知第10天的日销售收入为121百元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值．
[解] (1)依题意知第10天的日销售收入为
P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.
从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知
当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.
从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．
4．5.3 函数模型的应用
1．能利用已知函数模型求解实际问题．
2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
1．常见的函数模型
建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：
指数函数模型：y＝b·ax＋c(a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型y＝mlogax＋n(a>0且a≠1，m≠0)．
2．常见的图象对应的数学模型
(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝bax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．
(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blogax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．
(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．
(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型．
1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？
[答案] 指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数增长速度均匀不变
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )
(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．( )
(3)函数y＝·3x＋1属于幂函数模型．( )
(4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y＝2x＋1.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
题型一 利用已知函数模型解决实际问题
【典例1】 我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：
LI＝10·lg(单位为分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．
回答以下问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．
[解] (1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102；∴LI2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，∴LI3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
(2)由题意知0≤LI<50，即0≤10lg<50，∴1≤<105，即10－12≤I<10－7.故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，小于10－7 W/m2.
利用已知函数模型解决实际问题的解题要点
解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．
[针对训练]
1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)
[解] 根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝.
利用计算器，解得k＝0.0004222.
故θ＝20＋80e－0.0004222t.
从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152，
由计算器算得θ≈89℃>85℃，
即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
题型二 自建函数模型解决实际问题
【典例2】 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[思路导引] 已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解．
[解] (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100·(1＋1.2%)3；
…
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈15.3.
因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．
可以用指数函数模型来解决的几类问题
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[针对训练]
2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝
题型三 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【典例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象．
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[思路导引] 借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题．
[解] (1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x.则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．
[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30 cm，问可以灌溉土地多少公顷？
[解] 由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×30，求得y＝56.2，即当最大积雪深度为30 cm时，可以灌溉土地约为56.2公顷．
建立拟合函数的方法策略
根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题．
[针对训练]
3．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
[解] 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
[解析] 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
[答案] C
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[解析] 由题意可知函数模型为指数函数，故选D.
[答案] D
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的关系用图象表示为图中的( )
[答案] B
4．一种产品原来的成本价为a元，计划每年降低p%，则成本y随年数x变化的函数关系式是________．
[解析] 当x＝1时，y＝a(1－p%)；当x＝2时，y＝a(1－p%)2；当x＝3时，y＝a(1－p%)3；….故成本y随年数x变化的函数关系式是y＝a(1－p%)x.
[答案] y＝a(1－p%)x
5.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
[解析] 由题意，可得ae－5n＝，n＝ln2，令ae－tln2＝，得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有 L.
[答案] 10
课后作业(三十六)
复习巩固
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
[解析] 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，
则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
[答案] D
2．有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
[解析]
可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
[答案] C
3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
[解析] 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
[答案] A
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10
C．lg10.1 D．10－10.1
[解析] 两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，
则lg＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.故选A.
[答案] A
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
[解析] 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
[答案] C
二、填空题
6．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．
[解析] 设2010年年产量是a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝－1.
[答案] －1
7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
[解析] 由题意，得②÷①，得e22k＝(e11k)2＝，故e11k＝.故食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝3×192＝24(小时)．
[答案] 24
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
[解析] ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
[答案] 1.75
三、解答题
9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解] (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2.解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.
10．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：
生长时间
2
4
5
8
9
高度
2.01
3.01
3.50
4.99
5.47
(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式；
(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年．
[解]
(1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型．
故所求的函数关系式可设为y＝kx＋b(其中k≠0，x∈N＋)．
把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组
解得
因此所求的函数关系式为y＝0.4925x＋1.0375(x∈N＋)．
分别将x＝2，x＝4，x＝8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系．
(2)令0.4925x＋1.0375＝50，解得x≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树．
综合运用
11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
[解] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y＝10t；
当t＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝t－0.1.
∴y＝
(2)由题意可知，t－0.1<0.25，得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：
x(天)
10
20
25
30
Q(x)(件)
110
120
125
120
已知第10天的日销售收入为121百元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值．
[解] (1)依题意知第10天的日销售收入为
P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.
从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知
当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.
从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．
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