人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案设计，共11页。
1．了解弧度制．
2．能进行角度与弧度的互化．
3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．
1．角的单位制
(1)角度制
规定1度的角等于周角的eq \f(1,360)，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝eq \f(l,r).
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
2．角度与弧度的换算
3．扇形的弧长公式及面积公式
温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．
(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝|α|·r，|α|＝eq \f(l,r)，r＝eq \f(l,|α|)；②S＝eq \f(1,2)|α|r2，|α|＝eq \f(2S,r2).
1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
[答案] 不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同
2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度＝1°.( )
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )
(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( )
(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一 角度与弧度的互化
【典例1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5).
[思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
[解] (1)20°＝eq \f(20π,180)＝eq \f(π,9).
(2)－15°＝－eq \f(15π,180)＝－eq \f(π,12).
(3)eq \f(7π,12)＝eq \f(7,12)×180°＝105°.
(4)－eq \f(11π,5)＝－eq \f(11,5)×180°＝－396°.
角度制与弧度制互化的原则
牢记180°＝π rad，充分利用1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°进行换算．
[针对训练]
1．－630°化为弧度为________．
[解析] －630°＝－630×eq \f(π,180)＝－eq \f(7,2)π.
[答案] －eq \f(7,2)π
2．α＝－3 rad，它是第________象限角．
[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°，则α＝－3 rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(540,π)))°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．
[答案] 三
题型二 用弧度制表示终边相同的角
【典例2】 已知角α＝2010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β