人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案，共13页。

1．了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
1．正弦曲线
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝csx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝csx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可，这是由于csx＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))).
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝csx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝csx的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)将正弦曲线向右平移eq \f(π,2)个单位就得到余弦曲线．( )
(3)函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2)))的图象与函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )
(4)函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]k∈Z，且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
题型一 用“五点法”作简图
【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋csx，x∈[0,2π]．
[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线．
[解] (1)列表：
描点连线，如图所示．
(2)列表：
描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
[针对训练]
1．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]；
(2)y＝1－csx，x∈[0,2π]．
[解] (1)列表：
在直角坐标系中描出五点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)， －1))，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．如图．
(2)列表：
在直角坐标系中，描出五点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y＝1－csx，x∈[0,2π]的图象．如图．
题型二 正、余弦函数图象的简单应用
【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sinx≥eq \f(1,2)；(2)csx≤eq \f(1,2).
[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．
[解] (1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z.
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；
(2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[针对训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－csx)；(2)y＝eq \r(2sinx－\r(2)).
[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－csx>0，即csx