必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案

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  5．5.2　简单的三角恒等变换第1课时　简单的三角恒等变换1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．1．半角公式 降幂公式半角公式sin2＝sin＝± cos2＝cos＝± tan2＝tan＝± 2.辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)．(其中tanθ＝)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin15°＝± .(　　)(2)cos15°＝ .(　　)(3)tan＝.(　　)(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√题型一  　求值问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　【典例1】　已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．[思路导引]　由α是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围．[解]　∵π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝ ＝，cos＝－ ＝－，tan＝＝－2.  　解决给值求值问题的思路方法(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [针对训练]1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．[解]　由题意得2＝，即1－sinα＝，得sinα＝.∵450°<α<540°，∴cosα＝－，∴tan＝＝＝＝＝2.题型二  三角函数式的化简【典例2】　化简：(180°<α<360°)．[思路导引]　利用二倍角公式将α角转化为角，注意被开方式子的正负．[解]　原式＝＝＝.又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.[变式]　若本例中式子变为：(－π<α<0)，求化简后的式子．[解]　原式＝＝＝＝.因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，所以原式＝＝cosα.  　化简问题中的“3变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等． [针对训练]2．已知π<α<，化简：＋.[解]　原式＝＋，∵π<α<，∴<<.∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos.题型三  三角恒等式的证明【典例3】　求证：＝.[思路导引]　注意到＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.[证明]　要证原式，可以证明＝.∵左边＝＝＝＝tan2θ，右边＝＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．  证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [针对训练]3．求证：－2cos(α＋β)＝.[证明]　因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.      课堂归纳小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2＝，cos2＝求解．开方时需要注意角所在象限.   1．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，则tan的值为(　　)A．2  B．－2  C.  D．－[解析]　∵cosθ＝－，且180°<θ<270°∴sinθ＝－＝－∴tan＝＝＝－2.[答案]　B2．下列各式中，值为的是(　　)A．sin15°cos15°   B．cos2－sin2C.   D. [解析]　选项A中，sin15°cos15°＝sin30°＝；选项B中，cos2－sin2＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan60°＝；选项D中，原式＝cos30°＝.故选B.[答案]　B3．若α∈，则化简的结果为(　　)A．sin＋cos   B．sin－cosC．－sin＋cos   D．－sin－cos[解析]　＝＝，∵α∈，∴∈，∴sin>cos∴原式＝sin－cos.故选B.[答案]　B4．已知tan＝3，则cosθ等于(　　)A.  B．－  C.  D．－[解析]　cosθ＝cos2－sin2＝＝＝＝－.故选B.[答案]　B5．化简：··.[解]　原式＝··＝·＝·＝＝tan.课后作业(五十二)复习巩固一、选择题1．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于(　　)A．－   B．－C．－    D．－ [解析]　∵<<π，∴sin＝－＝－，故选D.[答案]　D2．若α∈，则 － 等于(　　)A．cosα－sinα   B．cosα＋sinαC．－cosα＋sinα   D．－cosα－sinα[解析]　原式＝ －＝|cosα|－|sinα|∵α∈，∴cosα>0，sinα<0，∴原式＝cosα＋sinα.[答案]　B3．sin＝，则cos＝(　　)A．－  B．－  C.  D.[解析]　cos＝2cos2－1.∵＋＝，∴cos＝sin＝.∴cos＝2×2－1＝－.故选A.[答案]　A4．化简＝(　　)A．sin2α   B．cos2αC．sinα   D．cosα[解析]　∵4sin2tan＝4cos2tan＝4cossin＝2sin＝2cos2α，∴原式＝＝＝sin2α.[答案]　A5．若cosα＝－，α是第三象限角，则的值为(　　)A．－  B.  C．2  D．－2[解析]　由cosα＝－，α是第三象限角，可得sinα＝－＝－.所以＝＝＝＝－.[答案]　A二、填空题6．若tanx＝，则＝________.[解析]　原式＝＝＝＝＝2－3.[答案]　2－37.＝__________.[解析]　原式＝＝＝＝＝－4.[答案]　－48．若tanα＝2tan，则＝________.[解析]　＝＝＝＝＝＝＝3.[答案]　3三、解答题9．求证：＝.[证明]　左边＝＝＝＝＝＝＝右边．∴原等式成立．10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，0<α<β<π，求α－β的值．[解]　因为(sinα＋sinβ)2＝2，(cosα＋cosβ)2＝2，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－，又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，所以α－β＝－.综合运用11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝(　　)A.  B.  C．－  D．－[解析]　sinα＋cosα＝，两边平方可得1＋sin2α＝，可得sin2α＝－，2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.[答案]　C12．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ等于(　　)A.  B.  C.  D.[解析]　因为θ∈，所以2θ∈，故cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ，所以sin2θ＝＝＝.又θ∈，所以sinθ＝，故选D.[答案]　D13．设α为第四象限角，且＝，则tan2α＝________.[解析]　∵α为第四象限的角，∴sinα<0，cosα>0∵＝＝＝2cos2α＋cos2α＝4cos2α－1＝∴cosα＝，sinα＝－，tanα＝－，∴tan2α＝＝－.[答案]　－14．化简tan70°cos10°(tan20°－1)＝__________.[解析]　原式＝cos10°＝2cos10°·＝2·cos10°sin(20°－30°)·＝2·sin(－10°)＝－＝－1[答案]　－115．已知cos2θ＝，<θ<π，(1)求tanθ的值．(2)求的值．[解]　(1)∵cos2θ＝，∴＝，∴＝，解得tanθ＝±，∵<θ<π，∴tanθ＝－.(2)＝，∴<θ<π，tanθ＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－，∴＝＝＝－4.