数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时学案

  5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)

1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

2．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．

3．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．

　参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

(2)ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

(3)A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

温馨提示：A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．

(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．

(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由函数y＝sin的图象得到y＝sinx的图象，必须向左平移．(　　)

(2)把函数y＝sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图象．(　　)

(3)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，便得到函数y＝Asinx的图象．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

题型一   用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象　　　　　　　　　　　　　　　　

【典例1】　用“五点法”作出函数y＝sin的简图．

[思路导引]　先列表，再描点，最后连线．

[解]　函数y＝sin的周期T＝＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：

描点、连线，如图所示，

利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝sin的简图(图略)．

　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象的步骤

(1)列表．令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值．

(2)描点．

(3)连线得函数在一个周期内的图象．

(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．

[针对训练]

1．已知f(x)＝2sin.

(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．

[解]　(1)列表：

作图：

(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，

得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(3)当＋＝＋2kπ，

即x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.

题型二   函数图象的平移变换

【典例2】　要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象(　　)

A．向左平移个单位   B．向右平移个单位

C．向左平移个单位   D．向右平移个单位

[思路导引]　注意平移变换是就“x”而言．

[解析]　由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位即可，故选B.

[答案]　B

　平移变换的策略

(1)先确定平移方向和平移的量．

(2)当x的系数是1时，若φ>0，则左移φ个单位；若φ<0，则右移|φ|个单位．

当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则左移个单位；若φ<0，则右移个单位．

[针对训练]

2．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是(　　)

A．y＝sin2x   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

[解析]　将函数y＝sin向左平移个单位，得y＝sin＝sin，故选C.

[答案]　C

题型三  函数图象的伸缩变换

【典例3】　已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？

[思路导引]　由y＝sinx的图象通过变换得y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：一是先伸缩后平移，二是先平移后伸缩．

[解]　解法一：步骤：①把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；

②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；

③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin(2x＋)的图象；

④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．

解法二：步骤：①把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象；

②把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；

③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；

④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．

由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

[针对训练]

3．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　)

A．y＝sin，x∈R

B．y＝sin，x∈R

C．y＝sin，x∈R

D．y＝sin，x∈R

[解析]　把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝sin的图象．

[答案]　C

4．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　)

A．ω＝2，φ＝   B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝，φ＝   D．ω＝，φ＝－

[解析]　将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，再向右平移个单位长度，得解析式为y＝sin2＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.故选B.

[答案]　B

课堂归纳小结

1．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：

(1)y＝sinxy＝sin(x＋φ)

y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．

(2)y＝sinxy＝sinωx

y＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝

Asin(ωx＋φ)．

注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．

2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cosx的图象变换得到．

1．将函数y＝cosx的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是(　　)

A．y＝cosx＋   B．y＝cosx－

C．y＝cos   D．y＝cos

[答案]　D

2．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

[解析]　当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除B，D.当x＝时，sin＝sin0＝0，排除C，故选A.

[答案]　A

3．为了得到y＝3sin(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋)(x∈R)的图象上所有的点的(　　)

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

[解析]　y＝3sin，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y＝3sin，故选B.

[答案]　B

4．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝cos2x   B．y＝1＋cos2x

C．y＝1＋sin   D．y＝cos2x－1

[解析]　将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin，即y＝sin＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x.

[答案]　B

5．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为______________________．

[解析]　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将所得函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象．

[答案]　y＝sin

课后作业(五十四)

复习巩固

一、选择题

1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin(x－)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

[解析]　根据图象左、右平移的条件很容易得出答案应选A.

[答案]　A

2．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

[解析]　函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin.

[答案]　C

3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　　)

A．非奇非偶函数

B．既是奇函数又是偶函数

C．奇函数

D．偶函数

[解析]　y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos2x的图象，y＝－cos2x是偶函数．

[答案]　D

4．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

[解析]　先将y＝2sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图象．

[答案]　C

5．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)

A.  B．3  C．6  D．9

[解析]　将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝cos，所得图象与原图象重合，所以cos＝cosωx，则－ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k(k∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.

[答案]　C

二、填空题

6．用“五点法”画函数y＝2sin(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝________.

[解析]　因为周期T＝－＝π，所以＝π，所以ω＝2.

[答案]　2

7．将函数y＝sinx的图象上所有点____________________，得到y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点____________________，可得到y＝sin的图象．

[答案]　向右平移个单位长度　纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍

8．将函数y＝sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________________________．

[解析]　y＝sin2xy＝sin2＝

sinxy＝sinx.即所得图象的解析式为y＝sinx.

[答案]　y＝sinx

三、解答题

9．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？

[解]　先把函数y＝sinx的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．

10．函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图象恰好关于直线x＝对称，求φ的最小值．

[解]　y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得y＝sin2(x＋φ)，由于其图象关于直线x＝对称，故2×＋2φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝＋(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为.

综合运用

11．为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

[解析]　y＝cos＝sin

＝sin＝sin，故选A.

[答案]　A

12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)

A．4  B．6  C．8  D．12

[解析]　解法一：逐项代入检验，对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)图象向左平移个单位得：y＝sin＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的图象．

解法二：y＝f(x)的图象向左平移后得到y＝

sin＝sin，其图象与原图象重合，有ω＝2kπ，即ω＝4k，k∈Z，故选B.

[答案]　B

13．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.

[解析]　y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sin，f＝.

[答案]　

14．某同学给出了以下论断：

①将y＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝sinx的图象；

②将y＝sinx的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；

③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝

sin(－x－2)的图象；

④函数y＝sin的图象是由y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到的．

其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．

[解析]　①正确；②错，y＝sinx的图象向右平移2个单位，得y＝sin(x－2)的图象；③正确；④错，应向左平移个单位．

[答案]　①③

15．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.

(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图．

(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．

[解]　(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．

(2)将f(x)＝3sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sin

＝3sinx的图象．

把 f1(x)＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sinx的图象，把f2(x)＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到g(x)＝sinx的图象．

所以g(x)的解析式g(x)＝sinx.