高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时学案设计

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  5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质第1课时　正弦函数、余弦函数的性质(一)1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．1．周期函数(1)周期函数的概念(2)最小正周期温馨提示：对周期函数的三点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．生活中，有很多“周而复始”的现象，你能举出几个常见的例子吗？[答案]　每天的日出日落，四季更替，每周上课用的课程表等2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．(　　)(2)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.(　　)(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．(　　)(4)函数y＝sin是奇函数．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√题型一  正、余弦函数的周期性【典例1】　求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sinx|.[思路导引]　求三角函数周期时可利用定义f(x＋T)＝f(x)，也可用公式T＝，还可以利用图象求解．[解]　(1)解法一：定义法∵f(x)＝cos＝cos＝cos＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.解法二：公式法∵y＝cos，∴ω＝2.又T＝＝＝π.∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.(2)解法一：定义法∵f(x)＝|sinx|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π.解法二：图象法函数y＝|sinx|的图象如图所示，由图象可知最小正周期为π. 　求三角函数最小正周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．[针对训练]1．求下列函数的周期．(1)y＝3sin；(2)y＝|cosx|.[解]　(1)∵y＝3sin，∴ω＝.又T＝＝＝4，∴函数y＝3sin的周期T＝4.(2)∵f(x)＝|cosx|，∴f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，∴f(x)＝|cosx|的周期 T＝π.题型二  正、余弦函数的奇偶性【典例2】　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝sin|x|；(3)f(x)＝＋.[思路导引]　首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．[解]　(1)因为函数的定义域为R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．(2)因为函数的定义域为R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(3)由得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．  　判断函数奇偶性应把握好2个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．要特别注意化简前后式子的等价性． [针对训练]2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝xsin；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝sin.[解]　(1)函数f(x)＝xsin的定义域为R.∵f(x)＝xsin＝xcosx，∴f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)函数应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为.∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)＝sin＝－cos2x，定义域为R.∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数.题型三  正、余弦函数周期性与奇偶性的应用【典例3】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．[思路导引]　解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性，将x化到可求值区间内．[解]　∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f.∵f(x)是R上的偶函数，∴f＝f＝sin＝.∴f＝.[变式]　本例中的“偶函数”改为“奇函数”其他条件不变．结果如何？[解]　∵f(x)最小正周期为π，∴f＝f＝f.∵f(x)为奇函数，∴f＝－f＝－sin＝－，∴f＝－.  　解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． [针对训练]3．函数f(x)＝sin是周期为________的________(奇或偶)函数．[解析]　∵f(x)＝sin＝－sin＝－cos2x，∴周期 T＝＝π，y＝cos2x为偶函数．故f(x)是周期为π的偶函数．[答案]　π　偶课堂归纳小结1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.2.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用. 1．函数y＝2sinx＋5的最小正周期是(　　)A.    B．π  C．2π    D．4π[解析]　函数y＝2sinx＋5的最小正周期就是函数y＝sinx的最小正周期，即＝2π，故选C.[答案]　C2．函数y＝cos的奇偶性为(　　)A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数[解析]　函数的定义域为R，且y＝cos＝sinx，故所给函数是奇函数．[答案]　A3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数[解析]　∵f(x)＝sin－1＝－sin－1＝－cos(πx)－1∴T＝＝2，而f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[答案]　B4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)A．1    B．－1  C．0    D．2[解析]　由题意得f＝f＝f＝－f＝－1.[答案]　B5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．[解析]　由题意得＝≤2，∴k≥4π.∴正整数k的最小值为4π.[答案]　4π课后作业(四十四)复习巩固一、选择题1．下列函数中，周期为的是(　　)A．y＝sinx    B．y＝sin2xC．y＝cos    D．y＝cos4x[解析]　∵T＝＝，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝4.[答案]　D2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于(　　)A．x轴对称    B．原点对称C．y轴对称    D．直线x＝对称[解析]　y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图象关于原点对称．[答案]　B3．函数f(x)＝3sin是(　　)A．周期为3π的偶函数    B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数    D．周期为的偶函数[解析]　∵f(x)＝3sin＝3sin＝－3sin＝－3cosx∴T＝＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．[答案]　A4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)[解析]　由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.[答案]　B5．函数y＝的奇偶性为(　　)A．奇函数    B．既是奇函数也是偶函数C．偶函数    D．非奇非偶函数[解析]　由题意知，当1－sinx≠0，即sinx≠1时，y＝＝|sinx|，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．[答案]　D二、填空题6．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω＝________.[解析]　依题意得＝，∴ω＝10.[答案]　107．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．[解析]　x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．[答案]　奇8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.[解析]　∵T＝，∴f＝f＝f＝sin＝.[答案]　三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos2x；(2)f(x)＝sin＋2；(3)f(x)＝x·cosx.[解]　(1)因为x∈R，f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，所以f(x)＝cos2x是偶函数．(2)因为x∈R，f(x)＝sin＋2＝cos＋2，所以f(－x)＝cos＋2＝cos＋2＝f(x)，所以函数f(x)＝sin＋2是偶函数．(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，所以f(x)＝xcosx是奇函数．10．已知函数y＝cosx＋|cosx|.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解]　(1)y＝cosx＋|cosx|＝函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.综合运用11．若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的一个取值为(　　)A．2010π    B．－C．－    D．－[解析]　当φ＝－时，f(x)＝sin＝cosx为偶函数，故选D.[答案]　D12．函数y＝cos(sinx)的最小正周期是(　　)A.    B．π  C．2π    D．4π[解析]　∵y＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)∴函数y＝cos(sinx)的最小正周期为π.[答案]　B13．函数f(x)＝sin＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．[解析]　f(x)＝sin＋1＝cos2x＋1，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)图象关于y轴对称．[答案]　y轴14．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则sin＝________.[解析]　∵函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，∴f(5)＝f(4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1，则原式＝sin＝－sin＝－1.[答案]　－115．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，当x∈时，求f(x)的解析式．[解]　x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.